Esercizio 2 – Equazione letterale

Equazioni di primo grado: equazioni letterali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere e discutere, quando necessario, la seguente equazione letterale

    \[a(5-4x) =4+a^2(1-x)\]

 

Soluzione. 
Innanzitutto facciamo i calcoli

    \[\begin{aligned} 	a(5-4x) =4+a^2(1-x) & \quad \Rightarrow \quad 6 + 5a - 4ax = 4 + a^2 - a^2x \\ 	& \quad \Rightarrow \quad (a^2-4a)x = a^2 -5a + 4\\ 	& \quad \Rightarrow \quad a(a-4)x = (a-4)(a-1) \end{aligned}\]

Dall’equazione

(1)   \begin{equation*} a(a-4)x = (a-4)(a-1) \end{equation*}

parte la discussione.
Se a(a-4)\neq 0 \Rightarrow a \neq 0 \, \wedge \, a \neq 4 allora l’equazione è determinata con soluzione

    \[x = \dfrac{(a-4)(a-1)}{a(a-4)} = \dfrac{a-1}{a}\]

Se a(a-4)=0 \Rightarrow a=0 \, \vee \, a = 4 allora dobbiamo andare a sostituire un valore alla volta in (1) ed osservare cosa succede.

Se a=0 l’equazione (1) diventa

    \[0x = 4\]

quindi l’equazione è impossibile.

Se a=4 l’equazione (1) diventa

    \[0x = 0\]

quindi l’equazione è indeterminata. Ricapitolando:

Se a\neq0 \, \wedge \, a \neq 4 allora l’equazione è determinata con soluzione x=\dfrac{a-1}{a}.
Se a=0 l’equazione è impossibile.
Se a=4 l’equazione è indeterminata.

 


Fonte: Matematica.verde 1 – Bergamini, Barozzi, Trifone (Zanichelli)