Esercizio 3 – Equazione letterale

Equazioni di primo grado: equazioni letterali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere e discutere, quando necessario, la seguente equazione letterale

    \[a(5-4x) =4+a^2(1-x)\]

 

Soluzione. 
Innanzitutto facciamo i calcoli

    \[\begin{aligned} a(ax-a-3)=x(6-a) & \quad \Rightarrow \quad a^2x -a^2 -3a = 6x -ax \\ & \quad \Rightarrow \quad x(a^2+a-6) = a^2+3a \\ & \quad \Rightarrow \quad x (a+3)(a-2) = a(a+3) \end{aligned}\]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo scomposto.
Dall’equazione

(1)   \begin{equation*} x (a+3)(a-2) = a(a+3) \end{equation*}

parte la discussione.

Se (a+3)(a-2)\neq 0 \Rightarrow a\neq-3 \, \wedge \, a\neq2 allora l’equazione è determinata con soluzione

    \[x = \dfrac{a(a+3)}{(a+3)(a-2)} \, \Rightarrow \,\boxed{ x = \dfrac{a}{a-2}}\]

Se (a+3)(a-2)=0 \Rightarrow a=-3 \, \vee \, a=2 allora dobbiamo andare a sostituire un valore alla volta in (1) ed osservare cosa succede.

Se a=-3 l’equazione (1) diventa

    \[0x = 0\]

quindi l’equazione è indeterminata.

Se a=2 l’equazione (1) diventa

    \[0x = 10\]

quindi l’equazione è impossibile. Ricapitolando

Se a\neq-3 \, \wedge \, a\neq2 allora l’equazione è determinata con soluzione x = \dfrac{a}{a-2}.
Se a=-3 l’equazione è impossibile.
Se a=2 l’equazione è indeterminata.


Fonte: Matematica.verde 1 – Bergamini, Barozzi, Trifone (Zanichelli)