Equazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 4

Equazioni di grado superiore al secondo risolte con l'uso della scomposizione

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione di grado superiore al secondo:

    \[x^3-7x+6=0\]

 

Soluzione. 
Scomponiamo il polinomio a membro sinistro dell’equazione procedendo con Ruffini: i divisori di nostro interesse sono \pm 1, \pm2, \pm 3 e \pm 6. Un divisore che annulla il polinomio è x=1:

    \[P(1) = 1 - 7 +6 = 0\]

quindi

    \[\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 0 & -7 & 6 \\ 1 & & 1 & 1 &-6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}\]

da cui

    \[x^3-7x+6=0 = (x-1)(x^2+x-6)\]

e il polinomio x^2+x-6 è un trinomio speciale per cui

    \[x^2+x-6 = (x+3)(x-2)\]

ottenendo infine

    \[x^3-7x+6=0 = (x-1)(x+3)(x-2)\]

Sfruttando la legge dell’annullamento del prodotto ponendo ogni fattore uguale a zero

    \[x-1= 0 \, \vee \, x+3=0 \, \vee \, x-2=0 \qquad \Leftrightarrow \quad \boxed{x=1\, \vee \, x=-3 \, \vee \, x=2}\]

 

 


Fonte: Matematica Verde 2 – Zanichelli