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Equazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 5

Equazioni di grado superiore al secondo risolte con l'uso della scomposizione

Home » Equazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 5

In questo quinto articolo sulle equazioni di grado superiore al secondo, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo tema. Segnaliamo anche il precedente Equazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 4 per ulteriori problemi risolvibili con equazioni di grado superiore al secondo.
Buona lettura!

 

Esercizio (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione di grado superiore al secondo:

\[x^4+3x^3+9x^2-3x-10=0.\]

Svolgimento.

Scomponiamo il polinomio a membro sinistro dell’equazione procedendo con Ruffini: i divisori di nostro interesse sono \pm 1, \pm2, \pm 5 e \pm 10. Un divisore che annulla il polinomio è x=1:

\[P(1) = 1 + 3 + 9 -3 - 10 = 0\]

quindi

\[\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 3 & 9 & -3 & -10 \\ & & 1 & 4 & 13 & 10 \\ \hline & 1 & 4 & 13 & 10 & 0 \end{array}\]

da cui

\[x^4+3x^3+9x^2-3x-10 = (x-1)(x^3+4x^2+13x+10).\]

Per il polinomio Q(x)=x^3+4x^2+13x+10 applichiamo nuovamente Ruffini: i divisori di nostro interesse sono \pm 1, \pm2, \pm 5 e \pm 10. Un divisore che annulla il polinomio è x=-1:

\[Q(-1) = (-1)^3 + 4(-1)^2 + 13(-1) + 10 = -1 + 4 - 13 + 10 = 0\]

quindi

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & 4 & 13 & 10 \\ & & -1 & -3 & -10 \\ \hline & 1 & 3 & 10 & 0 \end{array}\]

da cui

\[x^3+4x^2+13x+10 = (x+1)(x^2+3x+10)\]

ottenendo infine

\[x^4+3x^3+9x^2-3x-10 = (x-1)(x+1)(x^2+3x+10).\]

Il trinomio x^2+3x+10 è irriducibile in \mathbb{R}, infatti il suo discriminante è negativo:

\[\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4\cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31 < 0.\]

Sfruttando la legge dell’annullamento del prodotto, poniamo ogni fattore uguale a zero:

\[x-1=0 \, \vee \, x+1=0 \, \vee \, x^2+3x+10=0.\]

In \mathbb{R} l’ultima equazione non ha soluzioni, quindi

\[\boxed{x=1\, \vee \, x=-1}.\]


 

 


Fonte: Matematica Verde 2 – Zanichelli

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

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