Disequazioni irrazionali – Esercizio 6
In questo sesto articolo sulle disequazioni irrazionali, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Disequazioni irrazionali – Esercizio 5 e il successivo Disequazioni irrazionali – Esercizio 7 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!
. Risolvi la seguente disequazione irrazionale
![\[\sqrt{x^2+4x} > 1+x.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8269a8721bb7a7e9d1be55be83d13d49_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
![\[\sqrt{A(x)} > B(x)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0cb10b27151ea6cdd833550c645b02d2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con 
e 
polinomi, dobbiamo impostare
![\[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) > [B(x)]^2. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31b47829869bf716d81b6401a791268a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Se abbiamo invece una disequazione irrazionale con il segno maggiore o uguale
![\[\sqrt{A(x)}{\color{red}{\ge}} B(x)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd283f1b3a25b4ab330208ef77713d61_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dobbiamo impostare quanto segue (le modifiche rispetto al precedente sono in rosso)
![\[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) {\color{red}{\ge}} [B(x)]^2. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4190152f3a84260a2aaf253716b72000_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nel nostro caso
![\[A(x) = x^2+4x \qquad \mbox{e} \qquad B(x)=1+x\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16e5a6c90c846a409dfcd542d5cfa2b8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi impostiamo i due sistemi
![\[\begin{cases} x^2+4x \ge 0 \\ 1+x<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} 1+x\ge0\\ x^2+4x > (1+x)^2 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-326cb36bdc30647d2e8311409624c245_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Risolviamo i due sistemi separatamente. Occupiamoci del primo sistema:
![\[\begin{cases} x^2+4x \ge 0 \\ 1+x<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x(x+4) \ge 0 \\ x<-1 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\le -4 \; \vee \; x\ge0 \\ x<-1 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8efad9de82cc0b33f0c14aff0cea7a25_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e con il grafico
otteniamo
![\[S_1: x \le -4\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0eb4ede9f0de19111941c69e9c2407f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ora risolviamo il secondo sistema
![\[\begin{cases} x\ge-1\\ x^2+4x > x^2+1+2x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\ x > \dfrac{1}{2} \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6460b2b12f5a2b183d8baa190fa6b02_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e con il grafico
otteniamo
![\[S_2: x > \dfrac{1}{2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbecc744052bb2f2717458b1e4fe6a5a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi dobbiamo unire 
e 
, pertanto la soluzione finale è:
![\[\boxed{x\le -4 \; \vee \; x>\dfrac{1}{2}}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3e863cc921870d2c8a58d1559909dfe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli
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