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Disequazioni irrazionali – Esercizio 5

Disequazioni irrazionali

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Disequazioni irrazionali – Esercizio 5

In questo quinto articolo sulle disequazioni irrazionali, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Disequazioni irrazionali – Esercizio 4 e il successivo Disequazioni irrazionali – Esercizio 6 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!

 

Esercizio (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvi la seguente disequazione irrazionale

\[\sqrt{x^2-5x+6} < \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}.\]

Svolgimento.

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

\[\sqrt{A(x)} < B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare il seguente sistema

\[\begin{cases} A(x)\ge0\\ B(x)> 0\\ A(x) < [B(x)]^2. \end{cases}\]

Da osservare che se la disequazione irrazionale è

\[\sqrt{A(x)} {\color{red}{\le}} B(x)\]

il sistema riporta solo le seguenti modifiche, evidenziate in rosso:

\[\begin{cases} A(x)\ge0\\ B(x){\color{red}{\ge}} 0\\ A(x) {\color{red}{\le}} [B(x)]^2. \end{cases}\]

Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che

\[A(x)= x^2-5x+6 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)= \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}\]

abbiamo

\[\begin{cases} x^2-5x+6>0\\\\ \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}>0\\\\ x^2-5x+6 < \left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4} \right)^2 \end{cases}\]

Data la lunghezza di risoluzione di ogni disequazione, risolviamole separatamente e poi rimettiamo a sistema le soluzioni. Risolviamo la prima disequazione:

\[x^2-5x+6>0\]

Scriviamo l’equazione associata

\[x^2-5x+6=0\]

per cui

\[x = \dfrac{5 \pm 1}{2} \quad \Rightarrow \quad x=2 \, \vee \, x=3\]

e con il metodo della parabola abbiamo

Rendered by QuickLaTeX.com

otteniamo

\[\boxed{x\le2 \; \vee \; x\ge3}\]

Risolviamo facilmente la seconda disequazione

\[\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}>0 \quad \Rightarrow \quad \boxed{ x > -1}\]

ed infine l’ultima disequazione

\[\begin{aligned} & x^2-5x+6 < \left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad x^2-5x+6 < \dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}x \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{16x^2-80x+96}{16} < \dfrac{x^2+1+2x}{16} \quad \Rightarrow \quad 15x^2-82x+95 < 0 \end{aligned}\]

Risolviamola in modo analogo a prima facendo l’equazione associata e trovandone le soluzioni

\[x = \dfrac{41 \pm 16}{15}\]

da cui

\[x= \dfrac{57}{15} = \dfrac{19}{5} \; \vee \; x= \dfrac{25}{15} = \dfrac{5}{3}\]

e con il metodo della parabola otteniamo

\[\boxed{\dfrac{5}{3} <x<\dfrac{19}{5}}\]

Rimettiamo a sistema le soluzioni trovate

\[\begin{cases} x\le2 \; \vee \; x\ge3\\\\ x>-1\\\\ \dfrac{5}{3} <x<\dfrac{19}{5} \end{cases}\]

e con il grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

deduciamo che la soluzione è

\[\boxed{\dfrac{5}{3}<x\le 2 \; \vee \; 3 \le x < \dfrac{19}{5}}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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