Disequazioni irrazionali – Esercizio 5

Disequazioni irrazionali

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Risolvi la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt{x^2-5x+6} < \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}\]

 

Soluzione

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} < B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare il seguente sistema

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x)> 0\\ 	A(x) < [B(x)]^2 \end{cases}\]

Da osservare che se la disequazione irrazionale è

    \[\sqrt{A(x)} {\color{red}{\le}} B(x)\]

il sistema riporta solo le seguenti modifiche, evidenziate in rosso:

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x){\color{red}{\ge}} 0\\ 	A(x) {\color{red}{\le}} [B(x)]^2 \end{cases}\]

Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che

    \[A(x)= x^2-5x+6 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)= \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}\]

abbiamo

    \[\begin{cases} 		x^2-5x+6>0\\\\ 		\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}>0\\\\ 		x^2-5x+6 < \left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4} \right)^2 	\end{cases}\]

Data la lunghezza di risoluzione di ogni disequazione, risolviamole separatamente e poi rimettiamo a sistema le soluzioni. Risolviamo la prima disequazione:

    \[x^2-5x+6>0\]

Scriviamo l’equazione associata

    \[x^2-5x+6=0\]

per cui

    \[x = \dfrac{5 \pm 1}{2} \quad \Rightarrow \quad x=2 \, \vee \, x=3\]

e con il metodo della parabola abbiamo

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otteniamo

    \[\boxed{x\le2 \; \vee \; x\ge3}\]

Risolviamo facilmente la seconda disequazione

    \[\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}>0 \quad \Rightarrow \quad \boxed{ x > -1}\]

ed infine l’ultima disequazione

    \[\begin{aligned} 		& x^2-5x+6 < \left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad 		x^2-5x+6 < \dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}x \quad \Rightarrow \quad 		\\\\ 		& \quad \Rightarrow \quad \dfrac{16x^2-80x+96}{16} < \dfrac{x^2+1+2x}{16} \quad \Rightarrow \quad 15x^2-82x+95 < 0 \end{aligned}\]

Risolviamola in modo analogo a prima facendo l’equazione associata e trovandone le soluzioni

    \[x = \dfrac{41 \pm 16}{15}\]

da cui

    \[x= \dfrac{57}{15} = \dfrac{19}{5} \; \vee \; x= \dfrac{25}{15} = \dfrac{5}{3}\]

e con il metodo della parabola otteniamo

    \[\boxed{\dfrac{5}{3}  <x<\dfrac{19}{5}}\]

Rimettiamo a sistema le soluzioni trovate

    \[\begin{cases} x\le2 \; \vee \; x\ge3\\\\ x>-1\\\\ \dfrac{5}{3}  <x<\dfrac{19}{5} \end{cases}\]

e con il grafico

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deduciamo che la soluzione è

    \[\boxed{\dfrac{5}{3}<x\le 2 \; \vee \; 3 \le x < \dfrac{19}{5}}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli