Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Disequazioni irrazionali – Esercizio 4

Disequazioni irrazionali

Home » Disequazioni irrazionali – Esercizio 4

Disequazioni irrazionali – Esercizio 4

In questo quarto articolo sulle disequazioni irrazionali, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Disequazioni irrazionali – Esercizio 3 e il successivo Disequazioni irrazionali – Esercizio 5 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!

 

Esercizio (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvi la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt{9+x^2} \ge x+1.\]

Svolgimento.

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} > B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare

    \[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) > [B(x)]^2. \end{cases}\]

Se abbiamo invece una disequazione irrazionale con il segno maggiore o uguale

    \[\sqrt{A(x)}{\color{red}{\ge}} B(x)\]

dobbiamo impostare quanto segue (le modifiche rispetto al precedente sono in rosso)

    \[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) {\color{red}{\ge}} [B(x)]^2. \end{cases}\]

Nel nostro caso

    \[A(x) = 9+x^2 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)=x+1\]

quindi impostiamo i due sistemi

    \[\begin{cases} 9+x^2 \ge 0 \\ x+1<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} 1+x\ge0\\ 9+x^2 \ge (x+1)^2 \end{cases}\]

Risolviamo i due sistemi separatamente. Occupiamoci del primo sistema:

    \[\begin{cases} 9+x^2 \ge 0 \\ x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\ x<-1 \end{cases}\]

per cui la soluzione del primo sistema è

    \[S_1: x<-1\]

Ora risolviamo il secondo sistema

    \[\begin{cases} 1+x\ge0\\ 9+x^2 \ge (x+1)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\ 9+x^2 \ge x^2+2x+1 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\ x\le 4 \end{cases}\]

e con il grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

otteniamo

    \[S_2 : -1\le x\le 4\]

Uniamo le soluzioni S_1 e S_2 avendo così

    \[\boxed{x\le 4}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






Document









Document