Disequazioni irrazionali – Esercizio 4

Disequazioni irrazionali

Home » Disequazioni irrazionali – Esercizio 4
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvi la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt{9+x^2} \ge  x+1\]

 

Soluzione

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} > B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare

    \[\begin{cases} 	A(x) \ge 0 \\ 	B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} 	B(x)\ge0\\ 	A(x) > [B(x)]^2 \end{cases}\]

Se abbiamo invece una disequazione irrazionale con il segno maggiore o uguale

    \[\sqrt{A(x)}{\color{red}{\ge}} B(x)\]

dobbiamo impostare quanto segue (le modifiche rispetto al precedente sono in rosso)

    \[\begin{cases} 	A(x) \ge 0 \\ 	B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} 	B(x)\ge0\\ 	A(x) {\color{red}{\ge}} [B(x)]^2 \end{cases}\]

Nel nostro caso

    \[A(x) = 9+x^2 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)=x+1\]

quindi impostiamo i due sistemi

    \[\begin{cases} 	9+x^2 \ge 0 \\ 	x+1<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} 	1+x\ge0\\ 	9+x^2 \ge (x+1)^2 \end{cases}\]

Risolviamo i due sistemi separatamente. Occupiamoci del primo sistema:

    \[\begin{cases} 	9+x^2 \ge 0 \\ 	x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	\forall \, x \in \mathbb{R}\\ 	x<-1 \end{cases}\]

per cui la soluzione del primo sistema è

    \[S_1: x<-1\]

Ora risolviamo il secondo sistema

    \[\begin{cases} 	1+x\ge0\\ 	9+x^2 \ge (x+1)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x\ge-1\\ 	9+x^2 \ge x^2+2x+1 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\  x\le 4 \end{cases}\]

e con il grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

otteniamo

    \[S_2 : -1\le x\le 4\]

Uniamo le soluzioni S_1 e S_2 avendo così

    \[\boxed{x\le 4}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli