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Disequazioni irrazionali – Esercizio 4

Disequazioni irrazionali

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvi la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt{9+x^2} \ge x+1\]

 

Soluzione

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} > B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare

    \[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) > [B(x)]^2 \end{cases}\]

Se abbiamo invece una disequazione irrazionale con il segno maggiore o uguale

    \[\sqrt{A(x)}{\color{red}{\ge}} B(x)\]

dobbiamo impostare quanto segue (le modifiche rispetto al precedente sono in rosso)

    \[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) {\color{red}{\ge}} [B(x)]^2 \end{cases}\]

Nel nostro caso

    \[A(x) = 9+x^2 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)=x+1\]

quindi impostiamo i due sistemi

    \[\begin{cases} 9+x^2 \ge 0 \\ x+1<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} 1+x\ge0\\ 9+x^2 \ge (x+1)^2 \end{cases}\]

Risolviamo i due sistemi separatamente. Occupiamoci del primo sistema:

    \[\begin{cases} 9+x^2 \ge 0 \\ x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\ x<-1 \end{cases}\]

per cui la soluzione del primo sistema è

    \[S_1: x<-1\]

Ora risolviamo il secondo sistema

    \[\begin{cases} 1+x\ge0\\ 9+x^2 \ge (x+1)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\ 9+x^2 \ge x^2+2x+1 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\ x\le 4 \end{cases}\]

e con il grafico

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otteniamo

    \[S_2 : -1\le x\le 4\]

Uniamo le soluzioni S_1 e S_2 avendo così

    \[\boxed{x\le 4}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli