Disequazioni irrazionali – Esercizio 3

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvi la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt{x+2} > x+1\]

 

Soluzione

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} > B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare

    \[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) > [B(x)]^2 \end{cases}\]

Se abbiamo invece una disequazione irrazionale con il segno maggiore o uguale

    \[\sqrt{A(x)}{\color{red}{\ge}} B(x)\]

dobbiamo impostare quanto segue (le modifiche rispetto al precedente sono in rosso)

    \[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) {\color{red}{\ge}} [B(x)]^2 \end{cases}\]

Nel nostro caso

    \[A(x) = x+2 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)=x+1\]

quindi impostiamo i due sistemi

    \[\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+1<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} x+1\ge0\\ x+2 > (x+1)^2 \end{cases}\]

e risolviamoli separatamente. Il primo sistema è

    \[\begin{cases} x \ge -2 \\ x<-1 \end{cases}\]

e con il grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

otteniamo che

    \[\boxed{S_1 : -2 \le x <-1}\]

Occupiamoci ora del secondo sistema

    \[\begin{cases} x\ge-1\\ x+2 > x^2+2x+1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\ x^2+x-1<0 \end{cases}\]

La disequazione di secondo grado x^2+x-1<0 si risolve scrivendo l’equazione associata

    \[x^2+x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\]

da cui

    \[x = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \; \quad \; x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\]

e con il metodo della parabola abbiamo

    \[\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} <x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\]

quindi il sistema diventa

    \[\begin{cases} x\ge-1\\\\ \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} <x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{cases}\]

e con il grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

ottengo

    \[\boxed{S_2:-1\le x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} }\]

Dobbiamo infine unire le soluzioni S_1 e S_2 ottenendo la soluzione finale:

    \[\boxed{-2 \le x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} }\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli