Disequazioni irrazionali – Esercizio 2

Disequazioni irrazionali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvi la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt{x-2} \le 2x-5\]

 

Soluzione

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} < B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare il seguente sistema

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x)> 0\\ 	A(x) < [B(x)]^2 \end{cases}\]

Da osservare che se la disequazione irrazionale è

    \[\sqrt{A(x)} {\color{red}{\le}} B(x)\]

il sistema riporta solo le seguenti modifiche, evidenziate in rosso:

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x){\color{red}{\ge}} 0\\ 	A(x) {\color{red}{\le}} [B(x)]^2 \end{cases}\]

Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che

    \[A(x)= x-2 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)= 2x-5\]

abbiamo

    \[\begin{aligned} 	& \begin{cases} 		x-2\ge0\\ 		2x-5\ge0\\ 		x-2 \le (2x-5)^2 	\end{cases}  \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 		x\ge2\\\\ 		x\ge\dfrac{5}{2}\\\\ 		x-2 \le 4x^2+25-20x 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ &  \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x\ge2\\\\ 	x\ge\dfrac{5}{2}\\\\ 	4x^2-21x+27 \ge 0 \qquad \quad (\star) \end{cases} \end{aligned}\]

Risolviamo la disequazione (\star) scrivendo l’equazione associata

    \[4x^2-21x+27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{21 \pm 9}{8} = \dfrac{21\pm3}{8}\]

da cui

    \[x = 3 \qquad \vee \qquad x = \dfrac{9}{4}\]

e con il metodo della parabola

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otteniamo

    \[x\le\dfrac{9}{4} \qquad \vee \qquad x\ge3\]

quindi il nostro sistema è

    \[\begin{cases} 	x\ge2\\\\ 	x\ge\dfrac{5}{2}\\\\ 	x\le\dfrac{9}{4} \quad \vee \quad x\ge3 \end{cases}\]

e con il grafico

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deduciamo che la soluzione è

    \[\boxed{x \ge 3}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli