Disequazioni irrazionali – Esercizio 1

Disequazioni irrazionali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvi la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt{x^2+1} <-2x-1\]

 

Soluzione

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} < B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare il seguente sistema

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x)> 0\\ 	A(x) < [B(x)]^2 \end{cases}\]

Da osservare che se la disequazione irrazionale è

    \[\sqrt{A(x)} {\color{red}{\le}} B(x)\]

il sistema riporta solo le seguenti modifiche, evidenziate in rosso:

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x){\color{red}{\ge}} 0\\ 	A(x) {\color{red}{\le}} [B(x)]^2 \end{cases}\]

Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che

    \[A(x)= x^2+1 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)= -2x-1\]

abbiamo

    \[\begin{aligned}  & \begin{cases} 	x^2+1\ge0\\ 	-2x-1> 0\\ 	x^2+1 < [-2x-1]^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	\forall \, x \in \mathbb{R}\\ 	2x<-1\\ 	x^2+1 < 4x^2+1+4x \end{cases}\quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	\forall \, x \in \mathbb{R}\\\\ 	x<-\dfrac{1}{2}\\\\ 	3x^2+4x >0 \end{cases}  \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\\\ x<-\dfrac{1}{2}\\\\ x(3x+4)>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	\forall \, x \in \mathbb{R}\\\\ 	x<-\dfrac{1}{2}\\\\ 	x<-\dfrac{4}{3} \; \vee \; x > 0 \end{cases} \end{aligned}\]

e con il grafico

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concludiamo che la soluzione è

    \[\boxed{x<-\dfrac{4}{3}}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli