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Disequazioni irrazionali – Esercizio 1

Disequazioni irrazionali

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Disequazioni irrazionali – Esercizio 1

In questo primo articolo sulle disequazioni irrazionali, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il successivo Disequazioni irrazionali – Esercizio 2 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!

 

Esercizio (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvi la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt{x^2+1} <-2x-1.\]

Svolgimento.

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} < B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare il seguente sistema

    \[\begin{cases} A(x)\ge0\\ B(x)> 0\\ A(x) < [B(x)]^2. \end{cases}\]

Da osservare che se la disequazione irrazionale è

    \[\sqrt{A(x)} {\color{red}{\le}} B(x)\]

il sistema riporta solo le seguenti modifiche, evidenziate in rosso:

    \[\begin{cases} A(x)\ge0\\ B(x){\color{red}{\ge}} 0\\ A(x) {\color{red}{\le}} [B(x)]^2. \end{cases}\]

Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che

    \[A(x)= x^2+1 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)= -2x-1\]

abbiamo

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} x^2+1\ge0\\ -2x-1> 0\\ x^2+1 < [-2x-1]^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\ 2x<-1\\ x^2+1 < 4x^2+1+4x \end{cases}\quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\\\ x<-\dfrac{1}{2}\\\\ 3x^2+4x >0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\\\ x<-\dfrac{1}{2}\\\\ x(3x+4)>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\\\ x<-\dfrac{1}{2}\\\\ x<-\dfrac{4}{3} \; \vee \; x > 0 \end{cases} \end{aligned}\]

e con il grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

concludiamo che la soluzione è

    \[\boxed{x<-\dfrac{4}{3}.}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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