Disequazione irrazionale – Esercizio 7

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Risolvere la seguente disequazione irrazionale

    \[\sqrt[3]{x+6} >x\]

 

Soluzione. La disequazione irrazionale con indice dispari si risolve elevando ambo i membri della disequazione all’indice della radice cioè eleviamo alla terza

    \[\left( \sqrt[3]{x+6}\right)^3 >x^3 \quad \Leftrightarrow \quad x+6>x^3 \quad \Leftrightarrow \quad x^3-x-6<0\]

Troviamo una disequazione di grado superiore al secondo quindi scomponiamo con il metodo di Ruffini. Innanzitutto indichiamo il polinomio con

    \[P(x)=x^3-x-6\]

e cerchiamo i divisori del termine noto -6:

    \[D: \pm1, \pm2, \pm 3, \pm 6\]

e vediamo quale di questi divisori rendono nullo il polinomio

    \[\begin{aligned}  	&P(1) = 1 -1-6=-6 \neq 0\\ 	&P(-1) = -1+1-6=-6\neq0\\ 	&P(2) = 8 - 2-6 = 0 	\end{aligned}\]

Impostiamo quindi lo schema dove 1 è il coefficiente di x^3, 0 è il coefficiente di x^2, -1 è il coefficiente di x e -6 è il termine noto

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ottenendo così un nuovo polinomio con coefficienti
1 per x^2, 2 per x e 3 come termine noto, possiamo quindi scrivere

    \[x^3-x-6 = (x-2)(x^2+2x+3)<0\]

e studiando il segno del prodotto otteniamo

    \[\begin{aligned} 	& x-2>0 \quad \Leftrightarrow \quad x>2\\ 	& x^2+2x+3>0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \, x \in \mathbb{R} 	\end{aligned}\]

e con una semplice regola dei segni

Rendered by QuickLaTeX.com

otteniamo x<2 in quanto il segno di disuguaglianza (<) ci indica di prendere gli intervalli dove il prodotto dei fattori è negativo.
Dunque la soluzione è

    \[\boxcolorato{superiori}{S= \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x<2\right\}}\]

 


Fonte: Matematica.Verde, Volume 2, Zanichelli