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Disequazioni irrazionali – Esercizio 3

Disequazioni irrazionali

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Disequazioni irrazionali – Esercizio 3

In questo terzo articolo sulle disequazioni irrazionali, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Disequazioni irrazionali – Esercizio 2 e il successivo Disequazioni irrazionali – Esercizio 4 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!

 

Esercizio (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvi la seguente disequazione irrazionale

\[\sqrt{x+2} > x+1.\]

Svolgimento.

Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo

\[\sqrt{A(x)} > B(x)\]

con A(x) e B(x) polinomi, dobbiamo impostare

\[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) > [B(x)]^2 \end{cases}\]

Se abbiamo invece una disequazione irrazionale con il segno maggiore o uguale

\[\sqrt{A(x)}{\color{red}{\ge}} B(x)\]

dobbiamo impostare quanto segue (le modifiche rispetto al precedente sono in rosso)

\[\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x)<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} B(x)\ge0\\ A(x) {\color{red}{\ge}} [B(x)]^2 \end{cases}\]

Nel nostro caso

\[A(x) = x+2 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)=x+1\]

quindi impostiamo i due sistemi

\[\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+1<0 \end{cases} \quad \vee \qquad \begin{cases} x+1\ge0\\ x+2 > (x+1)^2 \end{cases}\]

e risolviamoli separatamente. Il primo sistema è

\[\begin{cases} x \ge -2 \\ x<-1 \end{cases}\]

e con il grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

otteniamo che

\[\boxed{S_1 : -2 \le x <-1}\]

Occupiamoci ora del secondo sistema

\[\begin{cases} x\ge-1\\ x+2 > x^2+2x+1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\ x^2+x-1<0 \end{cases}\]

La disequazione di secondo grado x^2+x-1<0 si risolve scrivendo l’equazione associata

\[x^2+x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\]

da cui

\[x = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \; \quad \; x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\]

e con il metodo della parabola abbiamo

\[\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} <x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\]

quindi il sistema diventa

\[\begin{cases} x\ge-1\\\\ \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} <x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{cases}\]

e con il grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

ottengo

\[\boxed{S_2:-1\le x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} }\]

Dobbiamo infine unire le soluzioni S_1 e S_2 ottenendo la soluzione finale:

\[\boxed{-2 \le x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}. }\]

Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
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