Disequazioni irrazionali – Esercizio 2
In questo secondo articolo sulle disequazioni irrazionali, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Disequazioni irrazionali – Esercizio 1 e il successivo Disequazioni irrazionali – Esercizio 3 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!
Esercizio 
. Risolvi la seguente disequazione irrazionale
. Risolvi la seguente disequazione irrazionale
![\[\sqrt{x-2} \le 2x-5.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ecac11a230541b680f900dcc78ed38b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Per risolvere una disequazione irrazionale del tipo
![\[\sqrt{A(x)} < B(x)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5286e294da4056c8773e6c93b0a689e4_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
con 
e 
polinomi, dobbiamo impostare il seguente sistema
![\[\begin{cases} A(x)\ge0\\ B(x)> 0\\ A(x) < [B(x)]^2. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8585530e6845259ad03a97f33410f84b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Da osservare che se la disequazione irrazionale è
![\[\sqrt{A(x)} {\color{red}{\le}} B(x)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2476f02b3a47562f37d96c7d58624be8_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
il sistema riporta solo le seguenti modifiche, evidenziate in rosso:
![\[\begin{cases} A(x)\ge0\\ B(x){\color{red}{\ge}} 0\\ A(x) {\color{red}{\le}} [B(x)]^2. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32ffa478cb5bc4f8edc1381e92e8f30e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che
![\[A(x)= x-2 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)= 2x-5\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0eedd2b4045e70a4638c543e8686c5a3_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
abbiamo
![\[\begin{aligned} & \begin{cases} x-2\ge0\\ 2x-5\ge0\\ x-2 \le (2x-5)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge2\\\\ x\ge\dfrac{5}{2}\\\\ x-2 \le 4x^2+25-20x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge2\\\\ x\ge\dfrac{5}{2}\\\\ 4x^2-21x+27 \ge 0 \qquad \quad (\star) \end{cases} \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e1c8dc702f1a3539ac9af17412e49f2d_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Risolviamo la disequazione 
scrivendo l’equazione associata
![\[4x^2-21x+27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{21 \pm 9}{8} = \dfrac{21\pm3}{8}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-578612cd0bb7730a78b5e8794caf4fa9_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[x = 3 \qquad \vee \qquad x = \dfrac{9}{4}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-39eadcf9833ae204f0d4d0da91fa679f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
e con il metodo della parabola
otteniamo
![\[x\le\dfrac{9}{4} \qquad \vee \qquad x\ge3\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-310439b8eb85f7198ea746bd95e69feb_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi il nostro sistema è
![\[\begin{cases} x\ge2\\\\ x\ge\dfrac{5}{2}\\\\ x\le\dfrac{9}{4} \quad \vee \quad x\ge3 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1da38745103bea5a37a062b513d8900e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
e con il grafico
deduciamo che la soluzione è
![\[\boxed{x \ge 3}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1df2505cacfd50ea3cda83b5cd28f0a0_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli
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