Esercizio 3 – Disequazioni fratte

Disequazioni fratte

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Risolvere la seguente disequazione fratta

    \[\dfrac{x^2-(x+1)^2}{x-1} > 0\]

 

Soluzione. Indichiamo con N(x) il numeratore e con D(x) il denominatore.
Si pongono N(x)e D(x) maggiori di zero, quindi

    \[\begin{aligned} &N(x) = x^2-(x+1)^2 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-(x^2+2x+1)> 0\quad \Leftrightarrow \quad -2x-1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad 2x < -1 \quad \Leftrightarrow \quad x < -\dfrac{1}{2}\]

e

    \[D(x) = x-1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x>1. \end{aligned}\]

Facciamo la regola dei segni

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Dal momento che il segno di disuguaglianza iniziale è un maggiore consideriamo gli intervalli denotati dal +, quindi

    \[\boxcolorato{superiori}{S= \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, -\dfrac{1}{2} < x < 1 \right\}}\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)