Esercizio 4 – Disequazioni fratte

Disequazioni fratte

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Risolvere la seguente disequazione fratta

    \[\dfrac{1}{4x-2} >-2\]

 

 

Soluzione. Prima di procedere dobbiamo ottenere zero nel membro destro dunque

    \[\dfrac{1}{4x-2}>-2 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{4x-2} + 2 >0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1+2(4x-2)}{4x-2}> 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{8x-3}{4x-2}>0\]

Indichiamo con N(x) il numeratore e con D(x) il denominatore.
Si pongono N(x) e D(x) maggiori di zero, quindi

    \[N(x) = 8x-3 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad 8x > 3 0\quad \Leftrightarrow \quad x> \dfrac{3}{8}\]

e

    \[D(x) = 4x-2 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x>\dfrac{1}{2}.\]

Facciamo la regola dei segni

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Dal momento che il segno di disuguaglianza iniziale è un maggiore consideriamo gli intervalli denotati dal +, quindi

    \[\boxcolorato{superiori}{S= \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x<\dfrac{3}{8} \; \vee \; x>\dfrac{1}{2} \right\}}\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)