Esercizio 4 – Disequazione lineare con coefficienti interi

Disequazioni di primo grado

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Risolvere la seguente disequazione a coefficienti interi

    \[x^2+(2x-3)(x+1) < x (x-1) + (2x-1)^2 - 2x^2\]

 

Soluzione. Procediamo svolgendo le operazioni

    \[\begin{aligned} & 	x^2+(2x-3)(x+1) < x (x-1) + (2x-1)^2 - 2x^2  &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad  x^2 + 2x^2+2x-3x-3< x^2-x + 4x^2-4x+1 - 2x^2 &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad 3x^2-x-3<  3x^2-5x+1 && \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \cancel{3x^2}-x-3<  \cancel{3x^2}-5x+1 &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -x-3 < -5x+1 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -x+5x < 1+3 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad  4x < 4 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad x < 1 \end{aligned}\]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo diviso ambo i membri per 4 e lasciato lo stesso verso del segno di disuguaglianza.

 

Si conclude che la soluzione finale è

    \[\boxcolorato{superiori}{S=\left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x < 1 \right\}}\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)