Esercizio 5 – Disequazione lineare con coefficienti interi

Disequazioni di primo grado

Home » Esercizio 5 – Disequazione lineare con coefficienti interi

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar)

Risolvere la seguente disequazione a coefficienti interi

    \[(x+1)^3-x^3 \le (3x+1)(x-2)\]

 

Soluzione. Sviluppando il cubo del binomio (x+1)^3, la disequazione data diventa

    \[\begin{aligned} & x^3 + 1 + 3x^2 + 3x -x^3 \le 3x^2+x-6x-2 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \cancel{x^3} + 1 + \cancel{3x^2} + 3x \cancel{-x^3} \le \cancel{3x^2} + x - 6x-2 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad 1 + 3x \le x - 6x-2 \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 3x-x +6x \le -1-2 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad 8x \le -3 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad x \le - \dfrac{3}{8} \end{aligned}\]

Osservazione: lo sviluppo del cubo di binomio è dato in generale da

    \[(A+B)^3 = A^3+B^3+3A^2B+3AB^2\]

quindi

    \[(x+1)^3 = x^3 + 1 + 3x^2 + 3x.\]

 

Si conclude che la soluzione finale è

    \[\boxcolorato{superiori}{S=\left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \le - \dfrac{3}{8} \right\}}\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)