Esercizio 3 – Disequazione lineare con coefficienti interi

Disequazioni di primo grado

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Risolvere la seguente disequazione a coefficienti interi

    \[(x+1)^2+(x-2)^2\ge (2x-1)(x+2)\]

 

Soluzione. Procediamo svolgendo le operazioni

    \[\begin{aligned} &	(x+1)^2+(x-2)^2\ge (2x-1)(x+2)  &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \underbrace{x^2+2x+1}_{\text{è } (x+1)^2} + \underbrace{x^2-4x+4}_{\text{è } (x-2)^2} \ge 2x^2-x+4x-2 &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad 2x^2 -2x + 5 \ge 2x^2 - x + 4x - 2 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad   \cancel{2x^2} -2x + 5 \ge \cancel{2x^2} + 3x - 2  &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -2x+5 \ge 3x-2 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -2x-3x \ge -5-2 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad  -5x \ge -7 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad x \le \dfrac{7}{5} \end{aligned}\]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo diviso ambo i membri per -5 e invertito il verso del segno di disuguaglianza.

 

Si conclude che la soluzione finale è

    \[\boxcolorato{superiori}{S=\left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \,  x \le \dfrac{7}{5} \right\}}\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)