Esercizio 2 – Disequazione lineare con coefficienti interi

Disequazioni di primo grado

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Risolvere la seguente disequazione a coefficienti interi

    \[-2(x+3)<(x+1)^2+(3-x)x\]

 

Soluzione. Procediamo svolgendo le operazioni

    \[\begin{aligned} & -2(x+3)<(x+1)^2+(3-x)x &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -2x-6<x^2+2x+1+3x-x^2 &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -2x-6<\cancel{x^2}+5x+1 \cancel{-x^2} &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -2x-6<5x+1 &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -2x-5x<6+1 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -7x<7 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 7x > -7 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad x > -1 \end{aligned}\]

dove nel penultimo passaggio abbiamo moltiplicato ambo i membri per -1 (e quindi abbiamo anche invertito il segno di disuguaglianza), mentre nell’ultimo passaggio abbiamo diviso ambo i membri per 7.
E’ importante sottolineare che gli ultimi due passaggi possono essere svolti anche in un passaggio solo, dividendo ambo i membri per -7 e ricordando di cambiare il verso di disuguaglianza.

 

Si conclude che la soluzione finale è

    \[\boxcolorato{superiori}{S=\left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x > -1\right\}}\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)