Esercizio 1 – Disequazione lineare con coefficienti interi

Disequazioni di primo grado

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Risolvere la seguente disequazione lineari a coefficienti interi

    \[-2x(3-x)\ge (2x-1)(x+2)\]

 

Soluzione. Procediamo svolgendo le operazioni

    \[\begin{aligned} & -2x(3-x)\ge (2x-1)(x+2)  &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \qquad -6x +2x^2 \ge 2x^2-x+4x-2 &&\quad \Leftrightarrow \qquad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -6x +\cancel{2x^2} \ge \cancel{2x^2} +3x-2 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad  -6x \ge 3x-2 &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad-6x - 3x \ge -2 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -9x \ge -2 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 9x \le 2 &&\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad x \le \dfrac{2}{9} \end{aligned}\]

dove nel penultimo passaggio abbiamo moltiplicato ambo i membri per -1 (e quindi abbiamo anche invertito il segno di disuguaglianza), mentre nell’ultimo passaggio abbiamo diviso ambo i membri per 9.
E’ importante sottolineare che gli ultimi due passaggi possono essere svolti anche in un passaggio solo, dividendo ambo i membri per -9 e ricordando di cambiare il verso di disuguaglianza.

 

Si conclude che la soluzione finale è

    \[\boxcolorato{superiori}{S=\left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \le \dfrac{2}{9} \right\} }\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)