Disequazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 4

Disequazioni di grado superiore al secondo

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente disequazione di grado superiore al secondo:

    \[x^4+3x^2-28<0\]

 

Soluzione. 
Scomponiamo il polinomio a primo membro della disequazione utilizzando la variabile ausiliaria t=x^2, quindi ottenendo

    \[x^4+3x^2-28 = t^2+3t-28<0\]

e scriviamo l’equazione associata

    \[t^2+3t-28=0\]

da cui

    \[t_1 = 4 \, \vee \, t_2 = -7 \quad \Rightarrow \quad x^2=4 \, \vee \, x^2 =-7\]

dunque

    \[x^4+3x^2-28 = (x^2-4)(x^2+7)<0 \quad \Rightarrow \quad (x-2)(x+2)(x^2+7)<0\]

dove abbiamo scomposto come segue x^2-4=(x-2)(x+2).
Ora facciamo lo studio del segno del prodotto

    \[\begin{aligned} 	& x-2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x>2\\ 	&  x+2 > 0 \quad \Rightarrow \quad -2\\ 	& x^2+7>0 \quad \Rightarrow \quad \forall \, x \in \mathbb{R} \end{aligned}\]

Procediamo con la regola dei segni

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da cui deduciamo che la soluzione è

    \[\boxed{-2<x<2}\]

 


Fonte: Matematica Verde 2 – Zanichelli