Disequazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 5

Disequazioni di grado superiore al secondo

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente disequazione di grado superiore al secondo:

    \[4x^4-21x^2+27 \le 0\]

 

Soluzione. 
Scomponiamo il polinomio a primo membro della disequazione utilizzando la variabile ausiliaria t=x^2, quindi ottenendo

    \[4x^4-21x^2+27 = 4t^2-21t+27\le0\]

e scriviamo l’equazione associata

    \[4t^2-21t+27=0\]

da cui

    \[t_1 = 3 \, \vee \, t_2 =\dfrac{9}{4} \quad \Rightarrow \quad x^2=3 \, \vee \, x^2 =\dfrac{9}{4}\]

dunque

    \[4x^4-21x^2+27  = \left( x^2-3\right) \left(x^2 -\dfrac{9}{4}\right)<0 \quad \Rightarrow \quad \left( x-\sqrt{3}\right)\left( x+\sqrt{3}\right) \left(x -\dfrac{3}{2}\right)\left(x +\dfrac{3}{2}\right)\le0\]

Studiando il segno del prodotto poniamo ogni fattore maggiore o uguale a zero, ottenendo

    \[\begin{aligned} 	& x-\sqrt{3} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad&& x \ge \sqrt{3}\\ 	& x+\sqrt{3} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad&& x \ge -\sqrt{3}\\ 	& x+\frac{3}{2} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad&& x \ge -\frac{3}{2}\\ 	& x-\frac{3}{2} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad&& x \ge \frac{3}{2}\\ \end{aligned}\]

Procediamo dunque con la regola dei segni

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da cui deduciamo che la soluzione è

    \[\boxed{ - \sqrt{3} \le x \le -\dfrac{3}{2} \; \vee \; \dfrac{3}{2} \le x \le \sqrt{3}}\]

 


Fonte: Qui Si Risolve