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Disequazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 3

Disequazioni di grado superiore al secondo

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Risolvere la seguente disequazione di grado superiore al secondo:

    \[x^3-3x^2-13x+15<0\]

 

Soluzione. 
Scomponiamo il polinomio a primo membro della disequazione con Ruffini: la funzione polinomiale è

    \[P(x)= x^3-3x^2-13x+15\]

e gli zeri razionali sono: \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15.
Sostituendo abbiamo

    \[\begin{aligned} & P(-1) = -1-3+13+15 \neq 0\\ & P(1) = 1 -3-13+15 = 0 \end{aligned}\]

quindi

    \[\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -3 & -13 & 15 \\ 1 & & 1 & -2 & -15 \\ \hline & 1 & -2 & -15 & 0 \end{array}\]

da cui

    \[x^3-3x^2-13x+15 =(x-1)(x^2-2x-15)\]

Scomponiamo ora x^2-2x+15: le due radici sono x_1=5 e x_2 = -3 per cui

    \[x^2-2x-15 = (x-5)(x+3)\]

quindi

    \[x^3-3x^2-13x+15 =(x-1)(x-5)(x+3)\]

Ora facciamo lo studio del segno del prodotto

    \[\begin{aligned} & x-1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x>1\\ & x-5>0 \quad \Rightarrow \quad x>5\\ & x+3>0 \quad \Rightarrow \quad x>-3 \end{aligned}\]

Procediamo con la regola dei segni

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deducendo che la soluzione è

    \[\boxed{x<-3 \; \vee \; 1<x<5}\]

 


Fonte: Matematica Verde 2 – Zanichelli
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