Disequazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 2

Disequazioni di grado superiore al secondo

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente disequazione di grado superiore al secondo:

    \[x^4-1>0\]

 

Soluzione. 
Scomponiamo il polinomio a primo membro della disequazione

    \[x^4-1 \overset{*}{=} (x^2-1)(x^2+1)  \overset{*}{=} (x-1)(x+1)(x^2+1)>0\]

dove in * abbiamo riconosciuto la differenza di quadrati.
Ora facciamo lo studio del segno del prodotto

    \[\begin{aligned} 	& x-1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x>1\\ 	&x+1>0 \quad \Rightarrow \quad x>-1\\ 	& x^2+1>0 \quad \Rightarrow \quad \forall \, x \in \mathbb{R} \end{aligned}\]

Procediamo con la regola dei segni

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deducendo che la soluzione è

    \[\boxed{x<-1 \; \vee \; x>1}\]

 


Fonte: Matematica Verde 2 – Zanichelli