Autori: Luigi De Masi, Daniele Fakhoury.

Revisori: Valerio Brunetti, Chiara Bellotti, Matteo Talluri, Sergio Fiorucci, Davide La Manna.

Il concetto di infinito è sicuramente tra i più affascinanti e al tempo stesso controversi della matematica. Il fatto che l’infinito sia fuori dalla portata delle azioni umane aveva portato i pensatori e i matematici alla convinzione che non vi fosse possibilità di esistenza di diversi tipi di infinito.

Fu Georg Cantor (1845-1918) a riconoscere che, in realtà, questa concezione era sbagliata e che nella matematica erano presenti insiemi infiniti essenzialmente diversi.

Per confrontare la cardinalità di insiemi, concetto che corrisponde al numero di elementi che vi appartengono, Cantor propose un metodo valido anche anche quando, come nel caso degli insiemi infiniti, non è possibile contarli per stabilire quale sia il maggiore tra i due.

Il sistema proposto da Cantor è semplice quanto geniale: dati due insiemi e , diciamo che essi hanno la stessa cardinalità se i loro elementi possono essere messi in una corrispondenza uno a uno; in termini matematici, ciò corrisponde a richiedere che esista una funzione biunivoca. Se ciò avviene, si può dire che e sono equipotenti.

Se e sono finiti, questo è equivalente a dire che e hanno lo stesso numero di elementi; ma il particolare che rende questa idea geniale risiede nel fatto che questa caratterizzazione funziona benissimo anche nel caso in cui e siano infiniti.

Utilizzando questa idea, Cantor confrontò gli insiemi infiniti allora noti e dimostrò che l’insieme dei numeri razionali è equipotente all’insieme dei numeri naturali , evidenziando la caratteristica controintuitiva degli insiemi infiniti di essere equipotenti a un suo sottoinsieme proprio.

Tutto ciò divenne ancor più interessante quando egli non riuscì a mettere in corrispondenza biunivoca i numeri naturali con i numeri reali e anzi, si rese conto che questo era impossibile: dimostrò cioè che non esiste alcuna funzione biunivoca , dimostrando cioè che l’infinito di è “essenzialmente più grande” di quello di . Per ottenere questo risultato, Cantor ideò quello che oggi viene chiamato in suo onore processo diagonale di Cantor; con tale metodo è possibile inoltre mostrare che, dato un qualsiasi insieme , il suo insieme delle parti ha sempre cardinalità maggiore di . Questo risultato viene oggi chiamato proprio teorema di Cantor, in quanto generalizza la dimostrazione della non numerabilità dei numeri reali.

Iterando questo risultato si vede facilmente che esistono infinite cardinalità infinite, oltre a quella dei numeri naturali e dei reali. Si possono costruire, cioè, insiemi infiniti arbitrariamente più grandi.

È interessante notare che la scoperta di Cantor dell’esistenza di diverse cardinalità infinite fu inizialmente osteggiata e quasi derisa dall’ambiente matematico dell’epoca.

Nonostante ciò, il processo diagonale ha trovato applicazione in molti campi della Matematica del ‘900: esso compare, ad esempio, anche nella dimostrazione di Gödel dei suoi celebri teoremi di incompletezza [1] e nella dimostrazione di Turing che il problema della fermata non può essere risolto [1]