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Esercizi sugli spazi vettoriali 2 – Indipendenza lineare

Spazi vettoriali

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Esercizi sugli spazi vettoriali 2 – Indipendenza lineare

Questa dispensa è il seguito della dispensa Esercizi svolti sugli spazi vettoriali 1. Qui vengono proposti 3 esercizi misti sull’indipendenza lineare negli spazi vettoriali. I testi e le soluzioni degli esercizi sono descritti dettagliatamente, affinché il lettore possa usarli come supporto ai propri studi, rafforzando sia le nozioni di base e avanzate nell’ambito dell’algebra lineare.

Segnaliamo inoltre la precedente raccolta Esercizi svolti sugli spazi vettoriali 1 sul concetto di dipendenza lineare e la successiva serie di Esercizi svolti sugli spazi vettoriali 3, relativi al tema dei sottospazi vettoriali. Buon lavoro!

 

Autori e revisori

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 Autore: Jacopo Garofali


 
 

Testi degli esercizi sugli spazi vettoriali – indipendenza lineare

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Si considerino i vettori v_i \in \mathbb{R}^4,\;i=1,\dots,4 dati da

v_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1\\ 1\\ -1 \end{array}\right),\; v_2= \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1\\ -1\\ 0 \end{array}\right),\; v_3=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\; v_4=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right).

 

  1. Determinare se essi formano una base di \mathbb{R}^4;
  2. Dire se è possibile esprimere v_4 come combinazione lineare di v_1,v_2,v_3 e in caso affermativo scrivere tale combinazione lineare.

Svolgimento punto 1.

Poichè abbiamo 4 vettori in \mathbb{R}^4, essi formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti. Per determinarlo procediamo applicando l’algoritmo di Gauss alla matrice ottenuta mettendo i vettori v_i in riga.

    \begin{align*} A= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1& 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 &1 \end{array}\right) \begin{array}{c} \\ \\ \\ R_4 \to R_4-R_1 \end{array} \\\\ A'= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1& 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) \begin{array}{c} \\ \\ R_3 \to R_3+ R_2 \\ R_4 \to R_4+R_2 \end{array} \\\\ A''= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0& -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{array}\right) \begin{array}{c} \\ \\ \\ R_4 \to R_4-2R_3 \end{array} \\\\ A'''= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0& -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*}

Poichè il rango della matrice è 3 (e non 4) concludiamo che i vettori non sono linearmente indipendenti: infatti l’ultima riga di zeri riflette il fatto che l’ultimo riga (poichè non sono stati operati scambi) è combinazione lineare delle altre righe. Dunque i vettori dati non formano una base.

Svolgimento punto 2.

Stiamo cercando tre numeri, non tutti nulli, diciamo x,y,z\in \mathbb{R} tali che v_4=xv_1+yv_2+zv_3.

Scritto in forma vettoriale l’equazione diventa

    \begin{equation*} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)= x\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1\\ -1\\ 0 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right). \end{equation*}

Ciò equivale a dire

    \begin{equation*} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1& 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y\\ z \end{array}\right) \end{equation*}

Ovvero basta risolvere il precedente sistema lineare! Lo studente può verificare che l’unica soluzione del sistema è \left(\begin{array}{c} x \\ y\\ z \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1\\ 2 \end{array}\right).

In alternativa avremmo potuto procedere a ritroso con le operazione effettuate sulle righe (che sono proprio i v_i) al punto i).

Al primo passo abbiamo posto R_1'=R_1, R_2'=R_2, R_3'=R_3, R_4'=R_4-R_1, al secondo passo R_1''=R_1', R_2''=R_2', R_3''=R_3'+R_2', R_4''=R_4'+R_2' e infine, all’ultimo passo, l’unica operazione non banale è stata R_4'''=R_4''-2R_3''. Poichè R_4'''=\bf{0} è una riga nulla, otteniamo l’equazione R_4''-2R_3''=\bf{0}, ovvero (sostituendo) (R_4'+R_2')-2(R_3'+R_2')=\bf{0}, ovvero R_4-R_1 + R_2-2R_3-2R_2=\bf{0}, da cui si ricava facilmente R_4=R_1+R_2+2R_3, cioè per l’appunto v_4=v_1+v_2+2v_3.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Verificare che i vettori v_i \in \mathbb{R}^4,\;i=1,2,3 dati da

    \[v_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \; v_2=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right), \; v_3=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\]

sono linearmente indipendenti.

Si consideri inoltre il vettore
v_4=\left( 1,-1,0,-2 \right)^T. Dimostrare che v_1,v_2,v_3,v_4 sono linearmente dipendenti
e scrivere infine v_4 come combinazione lineare degli altri tre.

Svolgimento.

Mettendo in riga i vettori e operando con l’algoritmo di Gauss troviamo

    \begin{align*} A= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 &0 \end{array}\right) \begin{array}{c} \\ \quad\quad R_2 \to R_2-4R_1 \\ \quad\quad R_3 \to R_3-R_1 \end{array} \\\\ A'= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right) \begin{array}{c} \\ \\ R_3 \to -3R_3+R_2 \end{array} \\\\ A''= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right). \end{align*}

Siccome il rango della matrice è 3, i vettori sono linearmente indipendenti.

Per finire, cerchiamo una soluzione dell’equazione

    \[\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)x+ \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)y + \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)z= \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right), \\\]

ovvero, del sistema \begin{cases} x+4y+z=1 \\ 2x+5y+z=-1 \\ x+3y=0 \\ x+y=-2 \end{cases}

Il sistema è risolubile (dunque i quattro vettori sono linearmente dipendenti) e si trova un’unica soluzione data da (x,y,z)=(-3,1,0). Quindi, abbiamo v_4=-3v_1+v_2.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia t\in \mathbb{R}. Consideriamo i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

u_t=\left(\begin{array}{c} 2+t \\ t\\ 2(1+t) \end{array}\right), \; v_t= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \; w_t= \left(\begin{array}{c} 1+t \\ t \\ 1+2t \end{array}\right),\; x_t= \left(\begin{array}{c} t-1 \\ 1 \\ t^2 \end{array}\right)
 

  1. Determinare per quali valori del parametro t, si ha x_t\in \operatorname{span}_{\mathbb{R}} \{u_t,v_t,w_t\};
  2. Per tali valori di t, scrivere x_t come combinazione lineare di u_t,v_t,w_t.

Svolgimento punto 1.

La richiesta è equivalente a discutere il sistema parametrico la cui matrice completa è data da (notare che le colonne sono state ordinate in un altro senso, cioè v_t,u_t,w_t, perchè è più conveniente)

    \begin{align*} A&= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2+t & 1+t & t-1 \\ 0& t& t& 1 \\ 1 & 2(1+t) & 1+2t & t^2 \end{array}\right) \begin{array}{c} \\ \\ R_3 \to R_3-R_1 \end{array} \\\\ A'&= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2+t & 1+t & t-1 \\ 0& t& t& 1 \\ 0 & t & t & t^2 -t+1 \end{array}\right) \end{align*}

Notiamo che al prossimo passo dobbiamo prendere come pivot t. Il caso t=0 va trattato quindi separatamente: vediamo che in questo caso la matrice dei coefficienti ha rango strettamente minore della matrice completa, cioè il sistema non ammette soluzioni e dunque non è possibile scrivere x_0 come combinazione lineare di u_0,v_0,w_0 (ovvero, sono quattro vettori linearmente indipendenti). Procedendo con R_3 \to R_3-R_2 notiamo che se t\neq 1 il sistema non è di nuovo compatibile. L’unico valore di t per cui esiste una soluzione è dunque t=1. In questo caso ci sono soluzioni, e c’è un parametro libero: S=\{(z-3,1-z,z):z\in\mathbb{R} \}.

Svolgimento punto 2.

Per rispondere è dunque sufficiente prendere una di queste soluzioni. Ad esempio, per z=0 troviamo il vettore (-3,1,0) e dunque abbiamo x_1=u_1-3v_1.

 
 

Ulteriori esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.






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