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Esercizi sugli spazi vettoriali 1 — Dipendenza lineare

Spazi vettoriali

Home » Esercizi sugli spazi vettoriali 1 — Dipendenza lineare

In questa dispensa sono proposti 8 esercizi sulla dipendenza lineare negli spazi vettoriali. Gli esercizi sono trattati nei minimi dettagli, fornendo soluzioni accurate e spunti di riflessione sia pratici che teorici. Una premessa teorica iniziale permette di affrontare i problemi con maggiore semplicità e di acquisire una maggiore consapevolezza nello studio dell’algebra.

Oltre a ciò, ogni esercizio è accompagnato da commenti esplicativi che aiutano a comprendere meglio i concetti chiave sugli spazi vettoriali e la dipendenza lineare. Questo approccio facilita non solo la risoluzione degli esercizi, ma anche l’applicazione pratica dei principi teorici appresi.

La dispensa è pensata per studenti e appassionati di matematica che desiderano approfondire le loro conoscenze sugli spazi vettoriali e migliorare la loro preparazione sul concetto di dipendenza lineare. Speriamo che questi esercizi possano essere una risorsa preziosa per il tuo percorso di apprendimento e contribuire a rafforzare la tua padronanza dell’algebra lineare.

 

Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sui sottospazi vettoriali. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

 
 

Autori e revisori

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  Autori: Matteo Talluri, Chiara Bellotti

Revisori: Jacopo Garofali, Luigi De Masi


 
 

Premessa teorica su spazi vettoriali e dipendenza lineare

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In questa sezione richiamiamo brevemente i concetti teorici necessari per lo svolgimento degli esercizi proposti dalla dispensa: combinazione lineare, dipendenza ed indipendenza lineare, sottospazio vettoriale, base e dimensione.

Definizione 1.1. Sia V uno spazio vettoriale a coefficienti nel campo \mathbb{K} e sia n\in\mathbb{N} un numero naturale.  

  1. Un sottoinsieme S\subseteq V è detto sottospazio vettoriale di V se esso è uno spazio vettoriale a sua volta, ovvero se per ogni coppia di scalari \alpha, \beta\in\mathbb{K} e per ogni coppia di vettori v, w\in V si ha

    \[\alpha v+\beta w\in S.\]

    Osserviamo in particolare, scegliendo \alpha=\beta=0, che S deve contenere il vettore nullo di V.

  2. Dati n scalari \alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K} ed n vettori v_1,\cdots,v_n\in V, il vettore u\in V dato da

    \[u=\alpha_1 v_1+\cdots\alpha_n v_n\]

    è detto combinazione lineare degli n vettori assegnati con coefficienti \alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K}.

  3. Un sottoinsieme S\subseteq V è detto linearmente dipendente se esistono n vettori

    v_1,\cdots,v_n\in S ed n scalari \alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K} non tutti nulli tali che

    \[\alpha_1 v_1+\cdots\alpha_n v_n=\bf 0.\]

    Altrimenti è detto linearmente indipendente.

  4. Dato un sottoinsieme S\subseteq V, chiamiamo

    \[\mathcal{L}(S)\subseteq V\]

    l’insieme di tutte le combinazioni lineari di un numero finito di elementi di S. Esso è un sottospazio vettoriale di V detto sottospazio generato da S. Se S è un insieme finito di n vettori S=\{v_1,\cdots,v_n\}, scriviamo

    \[\mathcal{L}(v_1,\cdots,v_n)\subseteq V.\]

    S è detto insieme dei generatori del sottospazio in questione.

  5. Chiamiamo base di uno spazio vettoriale V un insieme \mathcal{B}\subset V di generatori linearmente indipendenti di V. Se la base ha cardinalità finita m\in\mathbb{N} chiamiamo dimensione dello spazio V la cardinalità di \mathcal{B}, ovvero

    \[\operatorname{dim}V=m.\]

Ricordiamo, ad esempio, che l’insieme dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a k è uno spazio vettoriale. Più esplicitamente tale spazio può essere descritto come:

\[\mathbb{R}_k[x]:=\{a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{k-1}+a_kx^k \colon a_0,a_1,\dots,a_k \in \mathbb{R}\}.\]

Osserviamo inoltre che, per ogni numero naturale k\in\mathbb{N}, \mathbb{R}_k[x] è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} di dimensione k+1, infatti una possibile base per questo spazio è data dall’insieme di vettori

\[\mathcal{B}=\{1,x,\dots,x^{k-1},x^k\}.\]


 
 

Testi degli esercizi sugli spazi vettoriali (dipendenza lineare)

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Usando opportunamente la nozione di rango di una matrice, stabilire se i seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti:

  1. v_1=(1,-1), \, v_2=(0,1) \, \text{in} \, \mathbb{R}^2;
  2. v_1=(1,-1), \, v_2=(-1,1) \, \text{in}\, \mathbb{R}^2;
  3. v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3;
  4. v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2), \, v_3=(0,1,1) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3;
  5. v_1=(-2,2,4), \, v_2=(-1,1,2) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3;
  6. v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2), \, v_3=(0,1,0) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3.

Richiamo teorico.

In generale, dati v_{1},\dots, v_{k}\in\mathbb{R}^{d}, essi sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice (v_{1},\dots, v_{k})\in\mathcal{M}_{d, k}(\mathbb{R}) ha rango k.

Svolgimento punto 1.

La matrice

\[\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\]

Avente come colonne i vettori v_{1},v_{2} ha determinante 1, quindi non nullo. Segue che il rango di tale matrice è 2, quindi v_{1} e v_{2} sono linearmente indipendenti.

Svolgimento punto 2.

La matrice

\[\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\]

Avente come colonne i vettori v_{1},v_{2} ha determinante 1-1=0. Essendo il determinante nullo, il rango non può essere massimo, quindi non può valere 2. I vettori v_{1} e v_{2} sono quindi linearmente dipendenti. Si vede facilmente che v_1=-v_2.

Svolgimento punto 3.

Consideriamo la matrice

\[M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right),\]

che ha come colonne i vettori v_{1},v_{2}. Osserviamo che il minore

\[\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\]

della matrice M ha determinante 2, quindi non nullo. Essendo il rango di tale minore pari a 2 e \operatorname{rk}(M)\leq 2, segue dal teorema degli orlati che il rango di M è 2 e quindi i vettori v_{1},v_{2} sono linearmente indipendenti.

Svolgimento punto 4.

Consideriamo la matrice

\[M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right)\]

avente come colonne i vettori v_{1},v_{2},v_{3}. Siccome

\[\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\]

il rango di M non può essere massimo. Segue che i vettori v_{1},v_{2},v_{3} sono linearmente dipendenti.

Svolgimento punto 5.

Sia

\[M=\left(\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}\right)\]

la matrice avente come colonne i vettori v_{1},v_{2}. Osserviamo che

\[\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\]

quindi i vettori v_{1},v_{2} sono linearmente dipendenti.

Svolgimento punto 6.

Sia

\[\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right)\]

la matrice avente come colonne i vettori v_{1},v_{2},v_{3}.

Usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza colonna si ottiene che \det(M)=-1. In particolare, il determinante non è nullo. Segue che il rango di M è massimo, ovvero vale 3. Possiamo perciò concludere che i vettori v_{1},v_{2},v_{3} sono linearmente indipendenti.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Usando opportunamente la nozione di rango di una matrice, stabilire per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori sono linearmente indipendenti in \mathbb{R}^4:

\[v_1=(-1, k, 1, k), \quad v_2=(1,0,1,0), \quad v_3=(-1,1,1, k), \quad v_4=(2,0, k, 1).\]

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