Esercizi sugli spazi vettoriali 1 — Dipendenza lineare

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Introduzione

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sui sottospazi vettoriali. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola. Le soluzioni sono a cura di Matteo Talluri e Chiara Bellotti, mentre la revisione `e a cura di Luigi De Masi e Jacopo Garofali.


Testi degli esercizi

 

Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Usando opportunamente la nozione di rango di una matrice, stabilire se i seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti:

  1. v_1=(1,-1), \, v_2=(0,1) \, \text{in} \, \mathbb{R}^2;
  2. v_1=(1,-1), \, v_2=(-1,1) \, \text{in}\, \mathbb{R}^2;
  3. v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3;
  4. v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2), \, v_3=(0,1,1) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3;
  5. v_1=(-2,2,4), \, v_2=(-1,1,2) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3;
  6. v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2), \, v_3=(0,1,0) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3.

 

Richiamo teorico.

In generale, dati v_{1},\dots, v_{k}\in\mathbb{R}^{d}, essi sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice (v_{1},\dots, v_{k})\in\mathcal{M}_{d, k}(\mathbb{R}) ha rango k.

Svolgimento matrice 1.

La matrice

    \[\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\]

Avente come colonne i vettori v_{1},v_{2} ha determinante 1, quindi non nullo. Segue che il rango di tale matrice è 2, quindi v_{1} e v_{2} sono linearmente indipendenti.


Svolgimento matrice 2.

La matrice

    \[\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\]

Avente come colonne i vettori v_{1},v_{2} ha determinante 1-1=0. Essendo il determinante nullo, il rango non può essere massimo, quindi non può valere 2. I vettori v_{1} e v_{2} sono quindi linearmente dipendenti. Si vede facilmente che v_1=-v_2.


Svolgimento matrice 3.

Consideriamo la matrice

    \[M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right),\]

che ha come colonne i vettori v_{1},v_{2}. Osserviamo che il minore

    \[\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\]

della matrice M ha determinante 2, quindi non nullo. Essendo il rango di tale minore pari a 2 e \operatorname{rk}(M)\leq 2, segue dal teorema degli orlati che il rango di M è 2 e quindi i vettori v_{1},v_{2} sono linearmente indipendenti.


Svolgimento matrice 4.

Consideriamo la matrice

    \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right)\]

avente come colonne i vettori v_{1},v_{2},v_{3}. Siccome

    \[\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\]

il rango di M non può essere massimo. Segue che i vettori v_{1},v_{2},v_{3} sono linearmente dipendenti.


Svolgimento matrice 5.

Sia

    \[M=\left(\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}\right)\]

la matrice avente come colonne i vettori v_{1},v_{2}. Osserviamo che

    \[\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\]

quindi i vettori v_{1},v_{2} sono linearmente dipendenti.


Svolgimento matrice 6.

Sia

    \[\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right)\]

la matrice avente come colonne i vettori v_{1},v_{2},v_{3}.

Usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza colonna si ottiene che \det(M)=-1. In particolare, il determinante non è nullo. Segue che il rango di M è massimo, ovvero vale 3. Possiamo perciò concludere che i vettori v_{1},v_{2},v_{3} sono linearmente indipendenti.


 
 

Esercizio 2  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Usando opportunamente la nozione di rango di una matrice, stabilire per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori sono linearmente indipendenti in \mathbb{R}^4:

    \[v_1=(-1, k, 1, k), \quad v_2=(1,0,1,0), \quad v_3=(-1,1,1, k), \quad v_4=(2,0, k, 1).\]

Svolgimento.

Ricordiamo che i vettori v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in\mathbb{R}^{4} sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice avente per colonne tali vettori ha rango 4.

Applicando l’algoritmo di Gauss si ottiene:

    \begin{align*} \left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & -1 & 2 \\ k & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & k \\ k & 0 & k & 1 \end{array}\right)& \stackrel{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & k \\ k & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 2 \\ k & 0 & k & 1 \end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{l} R_3\leftrightarrow R_3+R_1 \\ R_2\leftrightarrow R_2-k R_1 \\ R_4\leftrightarrow R_4-k R_1 \end{array}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & k \\ 0 & -k & 1-k & -k^2 \\ 0 & 2 & 0 & 2+k \\ 0 & -k & 0 & 1-k^2 \end{array}\right)\\& \stackrel{C_{2}\leftrightarrow C_{3}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & k \\ 0 & 1-k & -k & -k^2 \\ 0 & 0 & 2 & 2+k \\ 0 & 0 & -k & 1-k^2 \end{array}\right)\stackrel{R_4\leftrightarrow R_4+\frac{k}{2} R_2}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & k \\ 0 & 1-k & -k & -k^2 \\ 0 & 0 & 2 & 2+k \\ 0 & 0 & 0 & 1+k-\frac{k^2}{2} \end{array}\right). \end{align*}

Osserviamo che la matrice ha pivot non nulli se e solo se k\neq 1 e k^{2}-2k-2\neq 0, ovvero k\neq 1\pm\sqrt{3}.

Possiamo quindi concludere che v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} sono linearmente indipendenti se e solo se k\neq 1,1\pm\sqrt{3}.


 
 

Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sono dati i vettori:

    \[v_1=(1,0,0),\quad v_2=(2,1,-1),\quad v_3=(1,2,3)\]

di \mathbb{R}^3.
 

  1. Dimostrare che v_1, v_2 e v_3 sono linearmente indipendenti;
  2. Scrivere il vettore (3,-1,1) come combinazione lineare di v_1, v_2 e v_3;
  3. Provare infine che ogni vettore di \mathbb{R}^3 è combinazione lineare di tali vettori.

Svolgimento punto 1.

Per verificare che i vettori v_{1},v_{2} e v_{3} sono linearmente indipendenti, basta mostrare che la matrice avente come colonne questi tre vettori, ovvero

    \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \end{array}\right),\]

ha rango 3. Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima colonna si ottiene

    \[\det(M)=1\cdot \det \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right)=5\neq 0.\]

Essendo il determinante di M non nullo, possiamo concludere che la matrice M ha rango massimo e quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti.


Svolgimento punto 2.

Possiamo risolvere il sistema in tre incognite

    \[x\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right),\]

opppure possiamo osservare semplicemente che

    \[-v_2=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\]

e, se sommiamo a -v_{2} il vettore 5v_{1} otteniamo proprio

    \[\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right),\]

ovvero

    \[\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)=5v_{1}-v_{2}.\]


Svolgimento punto 3.

Dato che \mathbb{R}^{3} ha dimensione 3 e v_{1},v_{2} e v_{3} sono linearmente indipendenti per il punto 1, essi formano una base di \mathbb{R}^{3} e quindi ogni vettore di \mathbb{R}^{3} si può scrivere come combinazione lineare di v_{1},v_{2} e v_{3}.

 
 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sono dati i vettori v=(1,1,3,1) e w=(2,0,0,-1) di \mathbb{R}^4. Per quali valori reali di k il vettore (0,2, k, 3) è combinazione lineare di v e w ?

Svolgimento.

Osserviamo che v e w non sono uno multiplo dell’altro, quindi il vettore (0,2,k,3) è combinazione lineare di v e w se e solo se la matrice

    \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & k \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right)\]

avente per colonne i 3 vettori ha rango 2.

Osserviamo che il minore:

    \[\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\]

ha determinante non nullo e le matrici

    \[\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & k \end{array}\right)\]

e

    \[\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right)\]

sono i due minori 3\times 3 a lui orlati. Sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda colonna, si ottiene che il determinante del primo minore 3\times 3 è -2(k-6). Ora,

    \[-2(k-6)=0 \Longleftrightarrow k=6.\]

Per quanto riguarda il secondo minore 3\times 3, sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che il determinante di tale minore è nullo.

Siccome per il teorema degli orlati tutti i minori 3\times 3 della matrice M hanno determinante nullo, possiamo quindi concludere che il rango di M è 2 se e solo se k=6, ovvero il vettore (0,2,k,3) è combinazione lineare di v e w se e solo se k=6.


 
 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia E=\mathcal{L}((1,1,0,1),(2,0,1,1)) \subseteq \mathbb{Q}^4. Per quali valori di k\in\mathbb{Q} si ha che (1, k, 2,-1) \in E ?

Svolgimento.

Osserviamo che v e w non sono uno multiplo dell’altro, quindi il vettore (1,k,2,-1) è combinazione lineare di v e w se e solo se la matrice

    \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right).\]

avente per colonne i 3 vettori ha rango 2.

Osserviamo che il minore

    \[\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\]

ha determinante pari a -2 e le matrici

    \[\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\]

e

    \[\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & k \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right)\]

sono i due minori 3\times 3 a lui orlati.

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla terza riga, il determinante del primo minore 3\times 3 è

    \[-\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & k \end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)=-k+1-4 \neq 0 \Longleftrightarrow k\neq -3.\]

Per quanto riguarda il secondo minore 3\times 3, sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda riga si ottiene che il determinante di questo minore è k+3, che si annulla di nuove se e solo se k=-3. Siccome tutti i minori 3\times 3 della matrice M hanno determinante nullo se e solo se k=-3, possiamo concludere per il teorema degli orlati che in quel caso il rango di M è 2, ovvero il vettore (1,k,2,-1)\in E se e solo se k=-3.


 
 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se i seguenti insiemi di vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti.
 

  1. v_1=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), v_3=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 0 \\ 4 & -3 & 2\end{array}\right) in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}).
  2.  

  3. v_1=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -1 & 0\end{array}\right), v_3=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & -3\end{array}\right) in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}).
  4.  

  5. v_1=\sin 2 x, v_2=\cos x, v_3=\sin x \cos x in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}.
  6.  

  7. v_1=x^2-x+1, v_2=1+x^2, v_3=2 x^2-2 x+1 in \mathbb{R}_{\leqslant 2}[x].
  8.  

  9. v_1=0, v_2=x^3-\pi x+1000, v_3=x^2-x+2 in \mathbb{R}_{\leqslant 3}[x].

Svolgimento punto 1.

Osserviamo che v_3-3 v_2=v_1, quindi sono linearmente dipendenti.

Svolgimento punto 2.

Prendiamo una combinazione lineare nulla di v_{1},v_{2} e v_{3}:

    \[x v_1+y v_2+z v_3=\left(\begin{array}{cc} 	x & -x \\ 	-x & 0 	\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 	0 & 2 y \\ 	-y & 0 	\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 	z & -2 z \\ 	-2 z & -3 z 	\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 	0 & 0 \\ 	0 & 0 	\end{array}\right);\]

questo è vero se e solo se

    \[\left\{\begin{array}{l} 	x+z=0 \\ 	2 y-x-2 z=0 \\ 	-x-y-2 z=0 \\ 	-3 z=0 	\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 	x=0 \\ 	2 y-x=0 \\ 	-x-y=0 \\ 	z=0 	\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 	x=0 \\ 	y=0 \\ 	z=0. 	\end{array}\right.\]

Possiamo quindi concludere che i tre vettori sono linearmente indipendenti.


Svolgimento punto 3.

Dalle formule di duplicazione si ha

    \[\sin (2 x)=2 \sin x \cos x,\]

quindi

    \[v_1=2 v_3.\]

Possiamo quindi concludere che i tre vettori sono linearmente dipendenti.


Svolgimento punto 4.

Le coordinate dei vettori v_{1},v_{2},v_{3} rispetto alla base di \mathbb{R}_{\leq 2}[x] data da \{1,x,x^{2}\}, sono rispettivamente

    \[\left(\begin{array}{c} 	1 \\ 	-1 \\ 	1 	\end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 	1 \\ 	0 \\ 	1 	\end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 	1 \\ 	-2 \\ 	2 	\end{array}\right).\]

La matrice che ha come colonne questi vettori ha determinante

    \[\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 	1 & 1 & 1 \\ 	-1 & 0 & -2 \\ 	1 & 1 & 2 	\end{array}\right)=1 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 	1 & 1 \\ 	1 & 2 	\end{array}\right)+2\cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 	1 & 1 \\ 	1 & 1 	\end{array}\right)=1 \neq 0,\]

quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti.


Svolgimento punto 5.

Il vettore nullo è combinazione lineare di un qualunque altro vettore, quindi i vettori dati sono linearmente dipendenti.

 
 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere, se possibile, il vettore in \mathbb{R}_{\leq 2}[x]

    \[v=x^2+x-1\]

come combinazione lineare dei vettori di \mathbb{R}_{\leq 2}[x]

    \[p_1=x^2-x,\quad p_2=x-1,\quad p_3=1+2 x^2.\]

Svolgimento.

Cerchiamo a,b,c\in\mathbb{R} tali che

    \[ap_1+bp_2+cp_3=v.\]

Svolgendo i calcoli si ottiene che

    \[a p_1+b p_2+c p_3=(a+2 c) x^2+(-a+b) x-b+c=x^2+x-1,\]

da cui

    \[\left\{\begin{array}{l} a+2 c=1 \\ b-a=1 \\ c-b=-1, \end{array}\right.\]

che, dopo aver sommato la seconda e la terza equazione, diventa

    \[\left\{\begin{array}{l} a+2 c=1 \\ c-a=0 \\ b-a=1. \end{array}\right.\]

Sommando la prima e la seconda equazione otteniamo 3c=2, da cui

    \[c=\frac{1}{3} \quad, a=\frac{1}{3}, \quad b=\frac{4}{3}.\]

Il vettore v quindi si può scrivere come

    \[v=\frac{1}{3} p_1+\frac{4}{3} p_2+\frac{1}{3} p_3.\]


 
 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dire per quali valori di k il vettore in \mathbb{R}_{\leq 2}[x]

    \[v=x^2+k x-k\]

è combinazione lineare dei vettori di \mathbb{R}_{\leq 2}[x]

    \[p_1=2 x^2+3 x+1,\quad p_2=x^2+x-2 .\]

 

Svolgimento.

Le coordinate di v,p_1,p_2 rispetto alla base \mathcal{B}=\{1,x,x^2\} di \mathbb{R}_{\leq 2}[x] sono

    \[[v]_\mathcal{B}=\left(\begin{array}{c} -k \\ k \\ 1 \end{array}\right), \quad\left[p_1\right]_\mathcal{B}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right), \quad\left[p_2\right]_\mathcal{B}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right).\]

Segue che v è combinazione lineare di p_1 e p_2 se e solo se

    \[[v]_\mathcal{B}=\mathcal{L}\left\{\left[p_1\right]_\mathcal{B},\left[p_2\right]_\mathcal{B}\right\},\]

ovvero se e solo se la matrice

    \[M=\left(\begin{array}{ccc} -k & 1 & -2 \\ k & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right)\]

ha rango 2 in quanto [p_1]_\mathcal{B} e [p_2]_\mathcal{B} sono linearmente indipendenti). Essendo \det(M)=-6k+7=0 se e solo se k=7/6, segue che v è combinazione lineare di p_1 e p_2 se e solo se

    \[k=\frac{7}{6}.\]