Esercizi sugli spazi vettoriali 1 — Dipendenza lineare

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Esercizi sugli spazi vettoriali 1 — Dipendenza lineare

In questa dispensa sono proposti 8 esercizi sulla dipendenza lineare negli spazi vettoriali. Gli esercizi sono trattati nei minimi dettagli, fornendo soluzioni accurate e spunti di riflessione sia pratici che teorici. Una premessa teorica iniziale permette di affrontare i problemi con maggiore semplicità e di acquisire una maggiore consapevolezza nello studio dell’algebra.

Oltre a ciò, ogni esercizio è accompagnato da commenti esplicativi che aiutano a comprendere meglio i concetti chiave sugli spazi vettoriali e la dipendenza lineare. Questo approccio facilita non solo la risoluzione degli esercizi, ma anche l’applicazione pratica dei principi teorici appresi.

La dispensa è pensata per studenti e appassionati di matematica che desiderano approfondire le loro conoscenze sugli spazi vettoriali e migliorare la loro preparazione sul concetto di dipendenza lineare. Speriamo che questi esercizi possano essere una risorsa preziosa per il tuo percorso di apprendimento e contribuire a rafforzare la tua padronanza dell’algebra lineare.

Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sui sottospazi vettoriali. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

Autori e revisori

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Autori: Matteo Talluri, Chiara Bellotti

Revisori: Jacopo Garofali, Luigi De Masi

Premessa teorica su spazi vettoriali e dipendenza lineare

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In questa sezione richiamiamo brevemente i concetti teorici necessari per lo svolgimento degli esercizi proposti dalla dispensa: combinazione lineare, dipendenza ed indipendenza lineare, sottospazio vettoriale, base e dimensione.

Definizione 1.1. Sia $V$ uno spazio vettoriale a coefficienti nel campo $\mathbb{K}$ e sia $n\in\mathbb{N}$ un numero naturale.

Un sottoinsieme $S\subseteq V$ è detto sottospazio vettoriale di $V$ se esso è uno spazio vettoriale a sua volta, ovvero se per ogni coppia di scalari $\alpha$ , $\beta\in\mathbb{K}$ e per ogni coppia di vettori $v$ , $w\in V$ si ha
$\alpha v+\beta w\in S.$

Osserviamo in particolare, scegliendo $\alpha=\beta=0$ , che $S$ deve contenere il vettore nullo di $V$ .

Dati $n$ scalari $\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K}$ ed $n$ vettori $v_1,\cdots,v_n\in V$ , il vettore $u\in V$ dato da
$u=\alpha_1 v_1+\cdots\alpha_n v_n$

è detto combinazione lineare degli $n$ vettori assegnati con coefficienti $\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K}$ .

Un sottoinsieme $S\subseteq V$ è detto linearmente dipendente se esistono $n$ vettori
$v_1,\cdots,v_n\in S$ ed $n$ scalari $\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K}$ non tutti nulli tali che

$\alpha_1 v_1+\cdots\alpha_n v_n=\bf 0.$

Altrimenti è detto linearmente indipendente.

Dato un sottoinsieme $S\subseteq V$ , chiamiamo
$\mathcal{L}(S)\subseteq V$

l’insieme di tutte le combinazioni lineari di un numero finito di elementi di $S$ . Esso è un sottospazio vettoriale di $V$ detto sottospazio generato da $S$ . Se $S$ è un insieme finito di $n$ vettori $S=\{v_1,\cdots,v_n\}$ , scriviamo

$\mathcal{L}(v_1,\cdots,v_n)\subseteq V.$

$S$ è detto insieme dei generatori del sottospazio in questione.

Chiamiamo base di uno spazio vettoriale $V$ un insieme $\mathcal{B}\subset V$ di generatori linearmente indipendenti di $V$ . Se la base ha cardinalità finita $m\in\mathbb{N}$ chiamiamo dimensione dello spazio $V$ la cardinalità di $\mathcal{B}$ , ovvero
$\operatorname{dim}V=m.$

Ricordiamo, ad esempio, che l’insieme dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a $k$ è uno spazio vettoriale. Più esplicitamente tale spazio può essere descritto come:

$\mathbb{R}_k[x]:=\{a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{k-1}+a_kx^k \colon a_0,a_1,\dots,a_k \in \mathbb{R}\}.$

Osserviamo inoltre che, per ogni numero naturale $k\in\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}_k[x]$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ di dimensione $k+1$ , infatti una possibile base per questo spazio è data dall’insieme di vettori

$\mathcal{B}=\{1,x,\dots,x^{k-1},x^k\}.$

Testi degli esercizi sugli spazi vettoriali (dipendenza lineare)

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Usando opportunamente la nozione di rango di una matrice, stabilire se i seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti:

$v_1=(1,-1), \, v_2=(0,1) \, \text{in} \, \mathbb{R}^2$ ;
$v_1=(1,-1), \, v_2=(-1,1) \, \text{in}\, \mathbb{R}^2$ ;
$v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3$ ;
$v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2), \, v_3=(0,1,1) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3$ ;
$v_1=(-2,2,4), \, v_2=(-1,1,2) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3$ ;
$v_1=(1,0,-1), \, v_2=(-1,1,2), \, v_3=(0,1,0) \, \text{in}\, \mathbb{R}^3$ .

Richiamo teorico.

In generale, dati $v_{1},\dots, v_{k}\in\mathbb{R}^{d},$ essi sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice $(v_{1},\dots, v_{k})\in\mathcal{M}_{d, k}(\mathbb{R})$ ha rango $k$ .

Svolgimento punto 1.

La matrice

$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right)$

Avente come colonne i vettori $v_{1},v_{2}$ ha determinante $1$ , quindi non nullo. Segue che il rango di tale matrice è $2$ , quindi $v_{1}$ e $v_{2}$ sono linearmente indipendenti.

Svolgimento punto 2.

La matrice

$\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)$

Avente come colonne i vettori $v_{1},v_{2}$ ha determinante $1-1=0$ . Essendo il determinante nullo, il rango non può essere massimo, quindi non può valere $2$ . I vettori $v_{1}$ e $v_{2}$ sono quindi linearmente dipendenti. Si vede facilmente che $v_1=-v_2$ .

Svolgimento punto 3.

Consideriamo la matrice

$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right),$

che ha come colonne i vettori $v_{1},v_{2}$ . Osserviamo che il minore

$\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

della matrice $M$ ha determinante $2$ , quindi non nullo. Essendo il rango di tale minore pari a $2$ e $\operatorname{rk}(M)\leq 2$ , segue dal teorema degli orlati che il rango di $M$ è $2$ e quindi i vettori $v_{1},v_{2}$ sono linearmente indipendenti.

Svolgimento punto 4.

Consideriamo la matrice

$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right)$

avente come colonne i vettori $v_{1},v_{2},v_{3}$ . Siccome

$\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),$

il rango di $M$ non può essere massimo. Segue che i vettori $v_{1},v_{2},v_{3}$ sono linearmente dipendenti.

Svolgimento punto 5.

Sia

$M=\left(\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}\right)$

la matrice avente come colonne i vettori $v_{1},v_{2}$ . Osserviamo che

$\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),$

quindi i vettori $v_{1},v_{2}$ sono linearmente dipendenti.

Svolgimento punto 6.

Sia

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right)$

la matrice avente come colonne i vettori $v_{1},v_{2},v_{3}$ .

Usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza colonna si ottiene che $\det(M)=-1$ . In particolare, il determinante non è nullo. Segue che il rango di $M$ è massimo, ovvero vale $3$ . Possiamo perciò concludere che i vettori $v_{1},v_{2},v_{3}$ sono linearmente indipendenti.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Usando opportunamente la nozione di rango di una matrice, stabilire per quali valori del parametro reale $k$ i seguenti vettori sono linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^4$ :

$v_1=(-1, k, 1, k), \quad v_2=(1,0,1,0), \quad v_3=(-1,1,1, k), \quad v_4=(2,0, k, 1).$

Svolgimento.

Ricordiamo che i vettori $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in\mathbb{R}^{4}$ sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice avente per colonne tali vettori ha rango $4$ .

Applicando l’algoritmo di Gauss si ottiene:

$\begin{align*} \left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & -1 & 2 \\ k & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & k \\ k & 0 & k & 1 \end{array}\right)& \stackrel{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & k \\ k & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 2 \\ k & 0 & k & 1 \end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{l} R_3\leftrightarrow R_3+R_1 \\ R_2\leftrightarrow R_2-k R_1 \\ R_4\leftrightarrow R_4-k R_1 \end{array}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & k \\ 0 & -k & 1-k & -k^2 \\ 0 & 2 & 0 & 2+k \\ 0 & -k & 0 & 1-k^2 \end{array}\right)\\& \stackrel{C_{2}\leftrightarrow C_{3}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & k \\ 0 & 1-k & -k & -k^2 \\ 0 & 0 & 2 & 2+k \\ 0 & 0 & -k & 1-k^2 \end{array}\right)\stackrel{R_4\leftrightarrow R_4+\frac{k}{2} R_2}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & k \\ 0 & 1-k & -k & -k^2 \\ 0 & 0 & 2 & 2+k \\ 0 & 0 & 0 & 1+k-\frac{k^2}{2} \end{array}\right). \end{align*}$

Osserviamo che la matrice ha pivot non nulli se e solo se $k\neq 1$ e $k^{2}-2k-2\neq 0$ , ovvero $k\neq 1\pm\sqrt{3}$ .

Possiamo quindi concludere che $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}$ sono linearmente indipendenti se e solo se $k\neq 1,1\pm\sqrt{3}$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sono dati i vettori:

$v_1=(1,0,0),\quad v_2=(2,1,-1),\quad v_3=(1,2,3)$

di $\mathbb{R}^3$ .

Dimostrare che $v_1, v_2$ e $v_3$ sono linearmente indipendenti;
Scrivere il vettore $(3,-1,1)$ come combinazione lineare di $v_1, v_2$ e $v_3$ ;
Provare infine che ogni vettore di $\mathbb{R}^3$ è combinazione lineare di tali vettori.

Svolgimento punto 1.

Per verificare che i vettori $v_{1},v_{2}$ e $v_{3}$ sono linearmente indipendenti, basta mostrare che la matrice avente come colonne questi tre vettori, ovvero

$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \end{array}\right),$

ha rango $3$ . Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima colonna si ottiene

$\det(M)=1\cdot \det \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right)=5\neq 0.$

Essendo il determinante di $M$ non nullo, possiamo concludere che la matrice $M$ ha rango massimo e quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Svolgimento punto 2.

Possiamo risolvere il sistema in tre incognite

$x\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right),$

opppure possiamo osservare semplicemente che

$-v_2=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$

e, se sommiamo a $-v_{2}$ il vettore $5v_{1}$ otteniamo proprio

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right),$

ovvero

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)=5v_{1}-v_{2}.$

Svolgimento punto 3.

Dato che $\mathbb{R}^{3}$ ha dimensione $3$ e $v_{1},v_{2}$ e $v_{3}$ sono linearmente indipendenti per il punto $1$ , essi formano una base di $\mathbb{R}^{3}$ e quindi ogni vettore di $\mathbb{R}^{3}$ si può scrivere come combinazione lineare di $v_{1},v_{2}$ e $v_{3}$ .

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sono dati i vettori $v=(1,1,3,1)$ e $w=(2,0,0,-1)$ di $\mathbb{R}^4$ . Per quali valori reali di $k$ il vettore $(0,2, k, 3)$ è combinazione lineare di $v$ e $w$ ?

Svolgimento.

Osserviamo che $v$ e $w$ non sono uno multiplo dell’altro, quindi il vettore $(0,2,k,3)$ è combinazione lineare di $v$ e $w$ se e solo se la matrice

$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & k \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right)$

avente per colonne i $3$ vettori ha rango $2$ .

Osserviamo che il minore:

$\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$

ha determinante non nullo e le matrici

$\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & k \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right)$

sono i due minori $3\times 3$ a lui orlati. Sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda colonna, si ottiene che il determinante del primo minore $3\times 3$ è $-2(k-6)$ . Ora,

$-2(k-6)=0 \Longleftrightarrow k=6.$

Per quanto riguarda il secondo minore $3\times 3$ , sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che il determinante di tale minore è nullo.

Siccome per il teorema degli orlati tutti i minori $3\times 3$ della matrice $M$ hanno determinante nullo, possiamo quindi concludere che il rango di $M$ è $2$ se e solo se $k=6$ , ovvero il vettore $(0,2,k,3)$ è combinazione lineare di $v$ e $w$ se e solo se $k=6$ .

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $E=\mathcal{L}((1,1,0,1),(2,0,1,1)) \subseteq \mathbb{Q}^4$ . Per quali valori di $k\in\mathbb{Q}$ si ha che $(1, k, 2,-1) \in E$ ?

Svolgimento.

Osserviamo che $v$ e $w$ non sono uno multiplo dell’altro, quindi il vettore $(1,k,2,-1)$ è combinazione lineare di $v$ e $w$ se e solo se la matrice

$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right).$

avente per colonne i $3$ vettori ha rango $2$ .

Osserviamo che il minore

$\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$

ha determinante pari a $-2$ e le matrici

$\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & k \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$

sono i due minori $3\times 3$ a lui orlati.

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla terza riga, il determinante del primo minore $3\times 3$ è

$-\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & k \end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)=-k+1-4 \neq 0 \Longleftrightarrow k\neq -3.$

Per quanto riguarda il secondo minore $3\times 3$ , sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda riga si ottiene che il determinante di questo minore è $k+3$ , che si annulla di nuove se e solo se $k=-3$ . Siccome tutti i minori $3\times 3$ della matrice $M$ hanno determinante nullo se e solo se $k=-3$ , possiamo concludere per il teorema degli orlati che in quel caso il rango di $M$ è $2$ , ovvero il vettore $(1,k,2,-1)\in E$ se e solo se $k=-3$ .

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire se i seguenti insiemi di vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti.

$v_1=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), v_3=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 0 \\ 4 & -3 & 2\end{array}\right)$ in $\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ .

$v_1=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -1 & 0\end{array}\right), v_3=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & -3\end{array}\right)$ in $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

$v_1=\sin 2 x, v_2=\cos x, v_3=\sin x \cos x$ in $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ .

$v_1=x^2-x+1, v_2=1+x^2, v_3=2 x^2-2 x+1$ in $\mathbb{R}_{\leqslant 2}[x]$ .

$v_1=0, v_2=x^3-\pi x+1000, v_3=x^2-x+2$ in $\mathbb{R}_{\leqslant 3}[x]$ .

Svolgimento punto 1.

Osserviamo che $v_3-3 v_2=v_1$ , quindi sono linearmente dipendenti.

Svolgimento punto 2.

Prendiamo una combinazione lineare nulla di $v_{1},v_{2}$ e $v_{3}$ :

$x v_1+y v_2+z v_3=\left(\begin{array}{cc} x & -x \\ -x & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 y \\ -y & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} z & -2 z \\ -2 z & -3 z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right);$

questo è vero se e solo se

$\left\{\begin{array}{l} x+z=0 \\ 2 y-x-2 z=0 \\ -x-y-2 z=0 \\ -3 z=0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=0 \\ 2 y-x=0 \\ -x-y=0 \\ z=0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=0 \\ z=0. \end{array}\right.$

Possiamo quindi concludere che i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Svolgimento punto 3.

Dalle formule di duplicazione si ha

$\sin (2 x)=2 \sin x \cos x,$

quindi

$v_1=2 v_3.$

Possiamo quindi concludere che i tre vettori sono linearmente dipendenti.

Svolgimento punto 4.

Le coordinate dei vettori $v_{1},v_{2},v_{3}$ rispetto alla base di $\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$ data da $\{1,x,x^{2}\}$ , sono rispettivamente

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right).$

La matrice che ha come colonne questi vettori ha determinante

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right)=1 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)+2\cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=1 \neq 0,$

quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Svolgimento punto 5.

Il vettore nullo è combinazione lineare di un qualunque altro vettore, quindi i vettori dati sono linearmente dipendenti.

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere, se possibile, il vettore in $\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$

$v=x^2+x-1$

come combinazione lineare dei vettori di $\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$

$p_1=x^2-x,\quad p_2=x-1,\quad p_3=1+2 x^2.$

Svolgimento.

Cerchiamo $a,b,c\in\mathbb{R}$ tali che

$ap_1+bp_2+cp_3=v.$

Svolgendo i calcoli si ottiene che

$a p_1+b p_2+c p_3=(a+2 c) x^2+(-a+b) x-b+c=x^2+x-1,$

da cui

$\left\{\begin{array}{l} a+2 c=1 \\ b-a=1 \\ c-b=-1, \end{array}\right.$

che, dopo aver sommato la seconda e la terza equazione, diventa

$\left\{\begin{array}{l} a+2 c=1 \\ c-a=0 \\ b-a=1. \end{array}\right.$

Sommando la prima e la seconda equazione otteniamo $3c=2$ , da cui

$c=\frac{1}{3} \quad, a=\frac{1}{3}, \quad b=\frac{4}{3}.$

Il vettore $v$ quindi si può scrivere come

$v=\frac{1}{3} p_1+\frac{4}{3} p_2+\frac{1}{3} p_3.$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire per quali valori di $k$ il vettore in $\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$

$v=x^2+k x-k$

è combinazione lineare dei vettori di $\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$

$p_1=2 x^2+3 x+1,\quad p_2=x^2+x-2 .$

Svolgimento.

Le coordinate di $v,p_1,p_2$ rispetto alla base $\mathcal{B}=\{1,x,x^2\}$ di $\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$ sono

$[v]_\mathcal{B}=\left(\begin{array}{c} -k \\ k \\ 1 \end{array}\right), \quad\left[p_1\right]_\mathcal{B}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right), \quad\left[p_2\right]_\mathcal{B}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right).$

Segue che $v$ è combinazione lineare di $p_1$ e $p_2$ se e solo se

$[v]_\mathcal{B}=\mathcal{L}\left\{\left[p_1\right]_\mathcal{B},\left[p_2\right]_\mathcal{B}\right\},$

ovvero se e solo se la matrice

$M=\left(\begin{array}{ccc} -k & 1 & -2 \\ k & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$

ha rango $2$ in quanto $[p_1]_\mathcal{B}$ e $[p_2]_\mathcal{B}$ sono linearmente indipendenti). Essendo $\det(M)=-6k+7=0$ se e solo se $k=7/6$ , segue che $v$ è combinazione lineare di $p_1$ e $p_2$ se e solo se

$k=\frac{7}{6}.$

Ulteriori esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

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Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

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Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

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Esercizi sugli spazi vettoriali 1 — Dipendenza lineare

Esercizi sugli spazi vettoriali 1 — Dipendenza lineare

Sommario

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Autori e revisori

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Premessa teorica su spazi vettoriali e dipendenza lineare

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Testi degli esercizi sugli spazi vettoriali (dipendenza lineare)

Richiamo teorico.

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

Svolgimento punto 4.

Svolgimento punto 5.

Svolgimento punto 6.

Svolgimento.

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

Svolgimento punto 4.

Svolgimento punto 5.

Svolgimento.

Svolgimento.

Ulteriori esercizi di geometria

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Suggerimenti, refusi ed errori