In questa dispensa presentiamo 10 esercizi sui sottospazi vettoriali, selezionati per offrire una panoramica completa su questo importante concetto dell’algebra lineare. Riportiamo le soluzioni complete di tutti gli esercizi proposti, corredate di interessanti spunti di riflessione.
La raccolta si configura quindi come un valido supporto allo studio dei sottospazi vettoriali: auguriamo a tutti una lettura proficua!
Segnaliamo inoltre la dispensa Esercizi svolti sugli spazi vettoriali 4, relativi a basi e dimensione.
Sommario
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Autori e revisori
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Notazioni relative a spazi e sottospazi vettoriali
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Spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali
Polinomio nullo.
Spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale ad .
Sottospazio vettoriale generato dei vettori , chiamato anche
Testi degli esercizi sugli spazi vettoriali (sottospazi vettoriali)
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Premessa teorica.
- il vettore nullo
;
- presi arbitrariamente
allora la loro somma
;
- presi arbitrariamente uno scalare
e
allora
.
Risultato sintetico.
Verifica per A.
- il vettore nullo
perchè soddisfa la proprietà di avere la seconda componente nulla.
- presi arbitrariamente
allora la loro somma
. Infatti la somma di due vettori con la seconda componente nulla avrà la seconda componente nulla.
Più precisamente, i vettori in
hanno la generica forma
; Presi quindi
e
avremo che
che appartiene ad
- presi arbitrariamente uno scalare
e
allora
che è ancora un elemento di
perchè ha la seconda componente nulla.
Verifica per B.
- il vettore nullo
perchè la differenza
delle componenti è nulla.
- presi arbitrariamente
, allora la loro somma
. Infatti, i vettori in
hanno la generica forma
dove
. Presi
e
sappiamo che
. Consideriamo la somma
. Vediamo se questo vettore soddisfa la proprietà di avere la differenza delle sue componenti
. Abbiamo che
/li>
- presi arbitrariamente uno scalare
e
, segue che
è ancora un elemento di
in quanto
Verifica per C.
Verifica per D.
che l’unica soluzione che soddisfa entrambe le condizioni è il vettore ; in altri termini
che è chiaramente un sottospazio vettoriale di
.
Osservazione 1.
Verifica per E.
Verifica per F.
Verifica per G.
Verifica per H.
perchè il prodotto delle componenti è negativo.
Verifica per I.
Verifica per M.
Verifica per N.
Svolgimento.
- la matrice nulla
ha la traccia nulla;
- la somma di due matrici che hanno traccia nulla ha ancora traccia nulla;
- moltiplicando per uno scalare una matrice con traccia nulla, il prodotto ha ancora la traccia nulla.
Possiamo anche notare che è il nucleo dell’applicazione lineare
che mappa le matrici
nella loro traccia. Il nucleo di un’applicazione lineare è sempre un sottospazio vettoriale.
In altri termini, sia
definita da
è lineare e vale .
-
tale che
-
tale che
-
tale che
-
tale che
-
tale che
-
tale che
Svolgimento punto 1.
Osserviamo che per il sistema non è omogeneo e il vettore nullo
non è soluzione del sistema, perchè non soddisfa l’ultima equazione, e quindi l’insieme delle soluzioni non può essere un sottospazio vettoriale.
Consideriamo ora il caso
, per cui l’insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale. Sostituendo
il sistema si semplifica. La seconda equazione diventa
da cui
. Sostituendo nella prima e terza equazione otteniamo
. Ricaviamo
e
da cui otteniamo
e dunque
e
.
In altri termini abbiamo scoperto che non esiste un valore dei parametri per cui l’insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale diverso dal vettore nullo.
Svolgimento punto 2.
Anche in questo caso è facile osservare che il vettore nullo soddisfa la seconda e terza equazione se e solo se . Procedendo per sostituzione come nell’esercizio precedente, scopriamo che l’unica soluzione è costituita dalla terna
.
Svolgimento punto 3.
Questo è un sistema omogeneo . Come già ricordato, le soluzioni di un sistema omogeneo sono sempre un sottospazio vettoriale. Per concludere l’esercizio basta trovare una soluzione non banale (non nulla) del sistema. Si può procedere per sostituzione o osservare che il vettore
è soluzione del sistema
.
Svolgimento punto 4.
Analogamente a quanto visto precedentemente, affinché il vettore nullo sia soluzione, deve valere . Adesso che il sistema è omogeneo, sappiamo che l’insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale. Per concludere basta far vedere che esiste una soluzione non banale.
Possiamo riscrivere il sistema in forma compatta come
Notiamo che il determinante della matrice ,
, quindi la matrice
è invertibile. Possiamo quindi scegliere
ed avere una soluzione del tipo
dove
Svolgimento punto 5.
Per omogeneità, sappiamo che le soluzioni del sistema sono un sottospazio vettoriale. Per concludere basta osservare che il vettore è una soluzione non banale
.
Svolgimento punto 6.
Per omogeneità, sappiamo che le soluzioni del sistema sono un sottospazio vettoriale. Per concludere basta osservare che il vettore è una soluzione non banale
.
Esercizio 4 Sia dato
Verificare che è un sottospazio vettoriale dei polinomi
. Stabilire per quali valori dei parametri
i seguenti polinomi sono in
:
-
;
-
;
-
.
Scrivere infine la forma generale degli elementi di .
Verifica che U è sottospazio vettoriale dei polinomi.
Per verificare che è un sottospazio vettoriale dei polinomi
basta
mostrare che valgono le proprietà che definiscono un sottospazio vettoriale, ovvero che
- il polinomio nullo
, perché è un polinomio di grado 0 che si annulla ovunque, in particolare in
;
- se abbiamo due polinomi di grado minore o uguale a 2 che si annullano in
anche la loro somma si annulla in
e ha grado minore o uguale a 2; in altri termini presi
allora
- se abbiamo un polinomio
di grado minore uguale a 2 tale che
e moltiplichiamo tale polinomio per uno scalare
il prodotto sarà un polinomio di grado minore o uguale a 2 che si annulla in
, infatti
Svolgimento punto 1.
è un polinomio di grado due e scopriamo, sostituendo
, che
se e solo se
;
Svolgimento punto 2.
Svolgimento punto 3.
Forma generale degli elementi di U.
Affinché si annulli in deve valere
da cui ad esempio
. Un generico polinomio in
potrà allora essere scritto come
- Provare che
è un sottospazio vettoriale di
.
- Dire se
è un elemento di
.
- Per quali valori dei parametri
si ha
?
- Scrivere infine la forma generale degli elementi di
.
Svolgimento punto 1.
Per provare che è un sottospazio vettoriale di
potremmo mostrare che valgono le proprietà che definiscono un sottospazio vettoriale.
Tuttavia, esiste anche una soluzione alternativa. Potremmo scrivere
dove
dove
Per mostrare che e
sono sottospazi vettoriali procediamo esattamente come nell’esercizio precedente e per concludere osserviamo che l’interesezione di sottospazi è sempre un sottospazio vettoriale.
Svolgimento punto 2.
Svolgimento punto 3.
da cui ricaviamo e
Svolgimento punto 4.
concludendo l’esercizio.
Per quali valori di la matrice
appartiene a
Svolgimento.
appartenga a con
il sottospazio di
generato dalle matrici
devono esistere tale che
ovvero
cioè
Uguagliando termine a termine otteniamo il sistema
che ha soluzione se e solo se con
e
.
appartenente . Dimostrare che l’insieme
è sottospazio vettoriale di . Questo spazio è detto il centralizzante di
in
.
Svolgimento.
appartenente per dimostrare che il centralizzante di
in
ovvero l’insieme
è sottospazio vettoriale di potremmo mostrare che valgono le proprietà che definiscono un sottospazio vettoriale, ovvero che
- il vettore nullo
;
- presi arbitrariamente
allora la loro somma
;
- presi arbitrariamente uno scalare
e
allora
.
In altri termini potremmo mostrare che la matrice nulla commuta con
, infatti abbiamo
. Se due matrici
commutano con
allora la loro somma
commuta con
infatti,
Infine se una matrice commuta con
ovvero
allora, preso
,
ancora commuta con
infatti
Svolgimento (metodo alternativo).
con
Mostrare che è un’applicazione lineare equivale fattualmente a mostrare le proprietà che abbiamo mostrato sopra per mostrare direttamente che
è sottospazio vettoriale.
Osserviamo che il risultato non dipende dalla matrice scelta né dalla sua dimensione.
è sottospazio vettoriale di .
Svolgimento.
è sottospazio vettoriale di potremmo mostrare che valgono le proprietà che definiscono un sottospazio vettoriale.
In altri termini che
- la matrice nulla di
può essere rappresentata come particolari valori di
e
; infatti scegliendo
otteniamo proprio la matrice nulla;
- prese due matrici che hanno componenti
, la loro somma continua a soddisfare la stessa proprietà. Siano
allora
che appartiene ad
.
- Analogamente, moltiplicando una matrice con quella proprietà per uno scalare, il prodotto soddisfa ancora la stessa proprietà.
Siano
e
allora
che appartiene ad
.
Svolgimento (metodo alternativo).
e che in altri termini,
è sottospazio vettoriale di .
Svolgimento.
è sottospazio vettoriale di potremmo procedere ancora mostrando che valgono le proprietà che definiscono un sottospazio vettoriale:
- il polinomio nullo si può scrivere nella forma
(con
);
- la somma di due polinomi con questa forma, continua ad avere la stessa forma, in altri termini preso
allora
che appartiene ad
.
- se moltiplichiamo per scalare
un polinomio
, il prodotto,
che appartiene a
.
Svolgimento (metodo alternativo).
ovvero che il generico elemento di può essere scritto come
Stabilire se e
sono sottospazi di
.
Svolgimento punto 1.
Questo è uno sottospazio vettoriale di .
Per mostrarlo procediamo esattamente come nell’esercizio 4, mostrando che valgono le proprietà che definiscono un sottospazio vettoriale:
- il polinomio nullo è un polinomio di grado minore o uguale a
che si annulla in tutti i punti, in particolare in
;
- se abbiamo due polinomi di grado minore o uguale a 3 che si annullano in
anche la loro somma è un polinomio di grado minore o uguale a tre che si annulla in
; in altri termini presi
allora
- se abbiamo un polinomio
di grado minore uguale a 3 tale che
e moltiplichiamo tale polinomio per uno scalare
il prodotto
sarà un polinomio di grado minore o uguale a 3 che si annulla in
, infatti
Svolgimento punto 2.
potremmo agire analogamente a quanto fatto per oppure, più semplicemente, osservare che
Svolgimento punto 3.
questo non è un sottospazio vettoriale in quanto il polinomio nullo, che vale valutato in ogni punto, non può valere
se valutato in
.
Scarica gli esercizi svolti
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Algebra lineare.
Geometria analitica.
Geometria differenziale.