Applicazioni lineari: esercizi numero 2

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Questa raccolta completa la serie di esercizi proposti in Esercizi sulle applicazioni lineari — 1. Essa contiene 8 esercizi risolti sulle applicazioni lineari e loro rappresentazioni nelle varie basi. Segnaliamo che le soluzioni sono scritte in forma più concisa rispetto a quelle dell’articolo Esercizi su endomorfismi e diagonalizzazione, e che esse danno spazio a tecniche anche più generali, al fine di permettere al lettore un approfondimento completo della disciplina.
applicazioni lineari

Notazione sulle applicazioni lineari

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Ricordiamo che date $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_n\}$ e $\mathcal{B}'=\{v_1',\dots,v_n'\}$ due basi di uno spazio vettoriale $V$ , la matrice del cambiamento di base da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ (o matrice di passaggio da $\mathcal{B}'$ a $\mathcal{B}$ ) viene denotata con $\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ (oppure con $\mathcal{P}_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}$ ).

Inoltre, data una base $\mathcal{C}=\{w_1,\dots,w_m\}$ di uno spazio vettoriale $W$ e una applicazione lineare $f:V \to W$ , denotiamo con $\mathcal{M}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f)$ la matrice $A=(a_{ij})_{i=1,\dots,m}^{j=1,\dots,n}$ che rappresenta $f$ nelle basi $\mathcal{B}$ in partenza e $\mathcal{C}$ in arrivo, ovvero data da $f(v_j)=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i$ .

Notiamo che $\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}(id_V)= \mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ .

Applicazioni lineari: autori e revisori

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Autore: Jacopo Garofali

Testi degli esercizi sulle applicazioni lineari

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si considerino le seguenti basi di $\mathbb{R}^3$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{B}_1= & \Bigg\{ v_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right), \quad v_2= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\quad v_3=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \Bigg\}, &\\ \mathcal{B}_2=& \Bigg\{ w_1= \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\quad w_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\quad w_3=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \Bigg\}.& \end{aligned} \end{equation*}$

Sia $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ data da $f(x)=Ax$ , dove

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 7 \\ -2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

Determinare la matrice $\mathcal{M}_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_1}(f)$ che rappresental’applicazione lineare $f$ nelle basi $\mathcal{B}_1$ in partenza e $\mathcal{B}_2$ in arrivo.

Svolgimento.

Dobbiamo trovare la matrice $X$ tale che, dato il vettore $v=[x]_{\mathcal{B}_1} \in \mathbb{R}^3$ delle coordinate di $x\in \mathbb{R}^3$ rispetto la base $\mathcal{B}_1$ , il vettore $w=Xv$ sia il vettore delle coordinate di $y=Ax$ rispetto la base $\mathcal{B}_2$ , ovvero $w=[Ax]_{\mathcal{B}_2}$ .

Denotiamo con $B_1=(v_1\;v_2\;v_3)$ e $B_2=(w_1\;w_2\;w_3)$ le matrici di passaggio da $\mathcal{B}_1$ a $\mathcal{E}$ e da $\mathcal{B}_2$ a $\mathcal{E}$ . Abbiamo le seguenti relazioni: $w=Xv$ , $x=B_1v$ e $y=B_2w$ . Dunque otteniamo $y=Ax \Leftrightarrow B_2w=AB_1v$ , da cui $X=B_2^{-1}AB_1$ . Si calcola che

$X=\begin{pmatrix} 2 &-1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -17 &5& -12 \end{pmatrix}.$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ l’ applicazione lineare definita da

$f(x,y,z)=( x+y+2z, 2x+y+z, 4x+3y+5z).$

Calcolare una base per $\ker(f)$ , ${\rm Im}(f)$ e le rispettive dimensioni.

Svolgimento.

La matrice rappresentativa di $f$ nella base standard di $\mathbb{R}^3$ è data da $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ Con l’algoritmo di Gauss otteniamo la seguente forma ridotta a scala

$\begin{center} $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{center}$

Deduciamo che $\dim({\rm Im}(f))=rk(A)=2$ e dunque una base per l’immagine è data dai primi due vettori colonna della matrice rappresentativa,

$\mathcal{B}_{\rm Im(f)}= \left\{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)\right\}.$

Poiché $\dim(\ker(f))+ \dim({\rm Im}(f))=3$ , deduciamo che il nucleo ha dimensione 1. Una sua base si trova risolvendo il sistema lineare $Ax=0$ . Per la riduzione vista prima, questo è equivalente al sistema

$\begin{cases} x+y+2z=0 \\ y+3z=0 \end{cases}$

che ha come soluzione $S=\{ (t,-3t,t): t\in \mathbb{R}\}=\mathcal{L}((1,-3,1))$ . Dunque una base di $\ker(f)$ è data dal solo vettore $\{ e_1-3e_2+e_3 \}$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $\mathcal{E}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ una base di $\mathbb{R}^4$ e sia $f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ definita nel modo seguente:

$f(e_1)=e_1+e_3, \;f(e_2)=e_2+e_4,\; f(e_3)=e_2-e_4,\; f(e_4)=e_1-e_3.$