Esercizio urti 38

(1)  

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso e descriviamo la posizione del punto materiale in un istante generico prima dell’impatto con il piano inclinato, come mostrato in Figura 1.  

  Consideriamo come sistema fisico unicamente la massa . Durante l’urto, si genera lungo l’asse una reazione vincolare impulsiva , pertanto non si conserva la quantità di moto in questa direzione. Lungo l’asse , invece, non agiscono forze esterne di natura impulsiva, quindi la quantità di moto di si conserva in tale direzione. In Figura 2 è rappresentata la situazione un istante prima dell’urto, dove e indicano rispettivamente le componenti di lungo gli assi e .  

  Definiamo e come i versori degli assi e , rispettivamente. La velocità del corpo immediatamente prima dell’urto, nel sistema di riferimento , si esprime come:

(2)  

Denotiamo con la velocità di un istante dopo l’urto. In Figura 3, mostreremo la posizione della massa immediatamente dopo l’urto, dove e indicano le componenti di lungo gli assi e . Inoltre, nella Figura 2, è illustrato , l’angolo che la velocità dopo l’urto forma con la normale al piano.  

  La velocità del corpo immediatamente dopo l’urto, nel sistema di riferimento , è data da:

(3)  

Per imporre la conservazione della quantità di moto, utilizziamo le equazioni sopra riportate:

(4)  

Dato che l’urto è elastico, si conserva anche l’energia meccanica per la massa , quindi:

(5)  

Dal risultato dell’equazione (4) e dalla precedente equazione, deduciamo che .

Dopo l’urto, la massa segue un moto parabolico. Di seguito, in Figura 4, ne illustreremo l’andamento.  

  Adottiamo un nuovo sistema di riferimento cartesiano fisso , illustrato in Figura 5. Definiamo come l’angolo formato dalla velocità finale con l’asse delle . Inoltre, nella Figura 5 è rappresentato il versore normale al piano inclinato.  

  Dalla Figura 5 si osserva che la velocità finale forma un angolo con il versore normale , e il versore un angolo equivalente rispetto all’asse delle , come si può dedurre attraverso considerazioni geometriche semplici. Pertanto, la geometria del problema stabilisce che:

(6)  

Questa equazione correla l’angolo con l’angolo , che è noto. Applicando la formula per l’altezza massima in un moto parabolico (\href{https://quisirisolve.com/fisica/meccanica-classica/cinematica-del-punto-materiale-nella-meccanica-classica/moto-parabolico/moto-parabolico-o-moto-del-proiettile-file-di-teoria/}{clicca qui per vedere la formula dell’altezza massima e la dimostrazione})), otteniamo:

(7)  

Si osservi che:

1. nel secondo passaggio abbiamo sostituito , la componente verticale della velocità dopo l’urto;
2. nel terzo passaggio abbiamo usato , come determinato dall’equazione (5);
3. nel quarto passaggio abbiamo inserito , come da (6);
4. nel quinto passaggio abbiamo convertito in usando le note formule degli archi associati;
5. nel sesto passaggio abbiamo sostituito , come stabilito dall’equazione (1).

Concludiamo dunque che l’altezza massima cercata è

• Cinematica del punto materiale.
• Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
• Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
• Moti relativi.
• Sistemi di punti materiali.
• Dinamica del corpo rigido.
• Urti .
• Gravitazione .
• Oscillazioni e onde.
• Meccanica dei fluidi.
• Onde meccaniche.
• Statica in meccanica classica.
• Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
• Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.