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Esercizio statica del corpo rigido 4

Statica in Meccanica classica

Home » Esercizio statica del corpo rigido 4

Esercizio sulla statica del corpo rigido 4 rappresenta il quarto esercizio della serie di esercizi dedicati alla statica dei corpi rigidi, offrendo un ulteriore esempio pratico utile per l’applicazione delle condizioni di equilibrio statico.

L’esercizio precedente è l’Esercizio sulla statica del corpo rigido 3, mentre quello successivo è l’Esercizio sulla statica del corpo rigido 5. L’esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente adatto per chi studia ingegneria, fisica o matematica.

La sezione precedente è dedicata agli esercizi sui sistemi di punti materiali, mentre l’argomento successivo riguarda gli esercizi sugli urti.

 

Testo dell’Esercizio sulla statica del corpo rigido 4

 

Esercizio 4 (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due aste AB e CD omogenee, di uguale lunghezza e massa m, vengono saldate insieme per uno dei loro estremi, una perpendicolarmente all’altra; l’estremo libero dell’asta AB viene poi incernierato a un punto O (vedere la figura 1) intorno al quale l’asta può ruotare senza attrito. Si calcolino i valori dell’angolo \alpha formato dall’asta AB rispetto all’orizzontale in condizioni di equilibrio.

 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: due aste AB e CD omogenee, di uguale lunghezza e massa m, saldate perpendicolarmente con l’estremo libero dell’asta AB incernierato al punto O. L’angolo \alpha è quello formato dall’asta AB con l’orizzontale.

 
 

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oy, con asse y orientato verso il basso, come in figura 2. Inoltre, rappresentiamo le relative forze peso di entrambe le aste, applicate rispettivamente nei propri centri di massa (si veda figura 2).

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 2: due aste saldate perpendicolarmente e il sistema di forze in gioco.

   

Scriviamo l’energia potenziale del sistema in funzione di \alpha

    \[U(\alpha) = \dfrac{mg\ell}{2} \sin \alpha + \dfrac{mg\ell}{2}\cos\alpha + mg\ell \sin \alpha+\text{costante}\]

e derivando rispetto ad \alpha otteniamo

    \[U^\prime(\alpha) = \dfrac{mg\ell}{2} \left(3 \cos \alpha - \sin \alpha \right).\]

Imponiamo

    \[U^\prime(\alpha) \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad 3 \cos \alpha - \sin \alpha \ge 0,\]

per determinare i punti di equilibrio stabile e instabile del sistema composto dalle due aste. Risolviamo

    \[\begin{cases} 3 \cos \alpha = \sin \alpha \\ \left(\cos \alpha\right)^2+\left( \sin \alpha \right)^2 = 1\\ \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} 3 \cos \alpha = \sin \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \sin \alpha =\pm \dfrac{3}{\sqrt{10}};\\[15pt] 10 \,\cos^2 \alpha = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \cos \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}. \end{cases}\]

In figura 3 rappresentiamo lo studio del segno U^\prime(\alpha)\geq 0, per determinare i punti di massimo e minimo

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 3: studio del segno U^\prime(\alpha)\geq 0

   

Per \alpha=\arctan(3) l’energia potenziale è minima e quindi si ha equilibrio stabile, mentre per \alpha=\arctan 3 +\pi l’energia potenziale è massima, e pertanto si ha equilibrio instabile.

 


Fonte Esercizio.

Fonte: S.Rosati, R.Casali, Problemi di fisica generale,Ambrosiana (1998).


 

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    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
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    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
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    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
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