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Esercizio sistemi di punti materiali 15

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 15 rappresenta il quindicesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 14, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 16.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 15

Esercizio 15 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Tre masse, m_1, m_2 e m_3, sono in moto lungo un piano orizzontale. Le masse m_1 ed m_2 sono connesse da una molla ideale di costante elastica k, lunghezza a riposo trascurabile e massa trascurabile, e sono soggetti rispettivamente alle forze \vec{F}_1^{(E)} ed \vec{F}_2^{(E)}. La massa m_3 si trova distante dalla massa m_2, come si può dedurre dalla figura 1, ed è soggetta alla forza \vec{F}_3^{(E)}. Le forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)} ed \vec{F}_3^{(E)} hanno direzione, verso e modulo costante, come rappresentato in figura 1. La massa m_1 ha un’accelerazione \vec{a}_1 rispetto ad un sistema di riferimento inerziale di modulo, direzione e verso costante parallelo al piano orizzontale all’istante t=0, come rappresentato in figura 1. Si consideri il sistema fisico composto dalle masse m_1, m_2 ed m_3, da cui si definisca \vec{a}_{\text{CM}} l’accelerazione del centro di massa di tale sistema. Inoltre, siano \vec{a}_2 e \vec{a}_3 le accelerazione rispettivamente di m_2 ed m_3 rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Si richiede di calcolare \left \vert \vec{a}_{\text{CM}}\right \vert, \left \vert \vec{a}_2\right \vert, \left \vert \vec{a}_3\right \vert e di quanto è allungata la molla all’istante iniziale t=0 in funzione di \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert, \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert, \left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert ed \left \vert \vec{a}_1\right \vert.

 

 

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Svolgimento.

Sulla massa m_1 è agente la forza \vec{F}_1^{(E)}, la forza peso m_1\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_1 e la forza della molla \vec{F}_{\text{M}}. Sulla massa m_2 è agente la forza \vec{F}_2^{(E)}, la forza peso m_2\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_2 e la forza della molla -\vec{F}_{\text{M}}. Sulla massa m_3 è agente la forza \vec{F}_3^{(E)}, la forza peso m_3\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}_3. Come richiesto dal testo dell’esercizio scegliamo come sistema fisico il sistema composto dalle tre masse m_1, m_2 ed m_3. Notiamo che le forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)}, \vec{F}_3^{(E)}, m_1\vec{g}, m_2\vec{g}, m_3\vec{g}, \vec{N}_1, \vec{N}_2 ed \vec{N}_3 sono forze esterne al sistema, mentre \vec{F}_{\text{M}} e -\vec{F}_{\text{M}} sono forze interne al sistema. Tutte le forze (sia esterne che interne al sistema) sono rappresentate in figura 2. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, con l’asse delle x coincidente con il piano orizzontale, come rappresentato in figura 2.

 

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Siano a_{\text{CM},x} e a_{\text{CM},y} le componenti lungo l’asse delle x e delle y di \vec{a}_{CM}. Definiamo F_1^{(E)}, F_2^{(E)} e F_3^{(E)} le componenti lungo l’asse delle x rispettivamente delle forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)} ed \vec{F}_3^{(E)}. Il centro di massa viene influenzato dalle sole forze esterne, pertanto proiettando le forze esterne nella direzione degli assi delle x e delle y, ed applicando la prima legge cardinale per i sistemi di punti materiali, si ha

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} F_1^{(E)} + F_2^{(E)} + F_3^{(E)} = (m_1 + m_2 + m_3)\ a_{\text{CM},x} \\[4pt] N_1 - m_1g + N_2 - m_2g + N_3 - m_3g= (m_1 + m_2 + m_3)\ a_{\text{CM},y}. \end{cases} \end{equation*}

I punti materiali m_1, m_2 e m_3 sono vincolati a muoversi nella sola direzione orizzontale, pertanto nella direzione dell’asse delle y la somma delle forze è nulla per tutti e tre; vale a dire che le accelerazioni nella direzione dell’asse delle y di tutti e tre i punti materiali è nulla. Applicando la seconda legge della dinamica a m_1, m_2 e m_3 e considerando quanto detto, si ha rispettivamente

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} N_1 - m_1g=0\\ N_2 - m_2g=0\\ N_3 - m_3g=0, \end{cases} \end{equation*}

da cui la seconda equazione del sistema (1) diventa

(3)   \begin{equation*} N_1 - m_1g + N_2 - m_2g + N_3 - m_3g=0=a_{\text{CM},y} (m_1 + m_2 + m_3), \end{equation*}

o anche

(4)   \begin{equation*} \boxed{a_{\text{CM},y}=0.} \end{equation*}

Per la scelta del sistema di riferimento, si ha F_1^{(E)}>0, F_2^{(E)}>0 e F_3^{(E)}>0, pertanto vale: F_1^{(E)}=\left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert, F_2^{(E)}=\left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert e F_3^{(E)}=\left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert; in altri termini le componenti dei vettori {F}_1^{(E)}, {F}_2^{(E)}, {F}_3^{(E)} sono coincidenti con i moduli rispettivamente delle forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)}, \vec{F}_3^{(E)}. Dalla prima equazione del sistema (1), sfruttando quanto detto, si ha

(5)   \begin{equation*} \boxed{a_{\text{CM},x}=\dfrac{ \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert}{m_1 + m_2 + m_3}.} \end{equation*}

Avvalendoci di quanto ottenuto nelle equazioni (4) e (5), si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{a}_{\text{CM}} = \left( \dfrac{\left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert}{m_1 + m_2 + m_3},\ 0 \right).}\]

Si osservi che, siccome le forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)} ed \vec{F}_3^{(E)} sono dirette parallelamente al piano orizzontale, abbiamo assunto che nella direzione dell’asse delle y le componenti di tutte e tre le forze risultano essere nulle.

 

Siano a_{1,x} e a_{1,y} rispettivamente le componenti lungo l’asse delle x e delle y del vettore \vec{a}_1. Siano a_{2,x} e a_{2,y} rispettivamente le componenti lungo l’asse delle x e delle y del vettore \vec{a}_2. Dalla seconda legge della dinamica per m_1 e m_2 nella direzione dell’asse delle x e delle y, si ha

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + F_{\text{M}} = m_1 a_{1,x} \\[10pt] \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert - F_{\text{M}}= m_2 a_{2,x}\\[10pt] a_{1,y}=0\\[10pt] a_{2,y}=0, \end{cases} \end{equation*}

dove F_M è la componente della forza della molla diretta lungo l’asse delle x. Per ipotesi di massa trascurabile, la molla è allungata di una quantità \Delta x, per cui F_{\text{M}}=k\Delta x. Avvalendoci di quanto detto il precedente sistema diventa

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + k \Delta x = m_1 a_{1,x} \\[10pt] \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert - k \Delta x = m_2 a_{2,x}\\[10pt] a_{1,y}=0\\[10pt] a_{2,y}=0. \end{cases} \end{equation*}

Per la scelta del sistema di riferimento si ha a_{1,x}>0, inoltre dalla terza equazione del precedente sistema si ottiene a_{1,y}=0, quindi \sqrt{a^2_{1,x}+a_{1,y}^2}=a_{1,x}=\left \vert \vec{a}_1\right \vert, di conseguenza il precedente sistema diventa

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + k \Delta x = m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert \\[10pt] \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert - k \Delta x = m_2 a_{2,x}\\[10pt] a_{1,y}=0\\[10pt] a_{2,y}=0. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del precedente sistema, si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{\Delta x = \frac{m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert - \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert }{k},}\]

cioè l’allungamento della molla all’istante t=0. Successivamente, sommando membro a membro le prime due equazioni del sistema (8), ricaviamo

(9)   \begin{equation*} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert = m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert + m_2 a_{2,x}, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} a_{2,x}= \frac{\left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert- m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert }{m_2}, \end{equation*}

cioè la componente dell’accelerazione lungo l’asse delle x del vettore \vec{a}_2 all’istante t=0. Notiamo che se

(11)   \begin{equation*} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert- m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert >0 \end{equation*}

allora

(12)   \begin{equation*} a_{2,x}>0, \end{equation*}

altrimenti se

(13)   \begin{equation*} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert- m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert <0 \end{equation*}

segue che

(14)   \begin{equation*} a_{2,x}<0. \end{equation*}

Dalle equazioni (8)_4 e (10) si può concludere che all’istante t=0, si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{ a}_2 =\left(\frac{\left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert- m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert }{m_2},0\right).}\]

Siano a_{3,x} e a_{3,y} la componente lungo l’asse delle x e delle y del vettore \vec{a}_3. La massa m_3 nella direzione dell’asse delle x positive è soggetta alla sola forza \vec{F}_3^{(E)}, per cui applicando la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle x a m_3, si ottiene

(15)   \begin{equation*} \begin{cases} F_3^{(E)} = m_3 a_{3,x} \\ 0= a_{3,y}, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(16)   \begin{equation*} \begin{cases} a_{3,x} = \dfrac{F_3^{(E)}}{m_3} \\[10pt] a_{3,y}=0. \end{cases} \end{equation*}

Per la scelta del sistema di riferimento, si ha F_3^{(E)}\geq 0, quindi F_3^{(E)}=\left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert, da cui il precedente sistema diventa

(17)   \begin{equation*} \begin{cases} a_3 = \dfrac{\left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert }{m_3}>0\\[10pt] a_{3,y}=0. \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema si può concludere che all’istante t=0, si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{\vec{ a}_3 =\left(\frac{\left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert }{m_3},0\right).}\]

 

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