Esercizio sistemi di punti materiali 37

Definiamo un sistema di riferimento inerziale con l’origine in corrispondenza della posizione iniziale del corpo ed orientato come in figura 2.  

 

 

Figura 2: diagramma di corpo libero per il sistema fisico in esame.

 Costruiamo il diagramma di corpo libero per entrambi i corpi del sistema in esame. Sul corpo agiscono la forza peso , la reazione vincolare con la guida orizzontale , e la tensione del filo , orientate come in figura 2. Sul corpo agiscono la forza peso e la tensione del filo , orientate come in figura 2. Poiché il filo è inestensibile e di massa trascurabile si ha che . Identifichiamo come sistema fisico in esame le due masse ed collegate tra loro dal filo di lunghezza . In questo sistema le forze interne sono le tensioni del filo ossia e , mentre le forze esterne sono , e . Osserviamo che le forze esterne sono tutte dirette lungo l’asse delle del sistema precedentemente definito; pertanto si conserva la quantità di moto totale del sistema fisico in esame nella direzione dell’asse o, equivalentemente, il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle . In riferimento alla figura 2, siano , , e rispettivamente la posizione iniziale lungo l’asse delle di , la posizione iniziale lungo l’asse delle di , la posizione iniziale lungo l’asse delle di e la posizione iniziale lungo l’asse delle di . Pertanto, le coordinate del centro di massa nell’istante iniziale saranno date da

(1)

dove e rappresentano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del centro di massa all’istante . La velocità del centro di massa , nel generico istante di tempo , per definizione è data da

(2)

dove e sono rispettivamente le velocità di e rispetto al sistema di riferimento fisso , in un generico istante . All’istante di tempo iniziale i due corpi sono in quiete, ossia e . Pertanto l’equazione (2) diventa

(3)

Siano e rispettivamente le componenti lungo l’asse delle e delle del vettore . Sfruttando quanto definito, l’equazione (3) può essere riscritta come

(4)

dove ed sono i versori rispettivamente dell’asse delle e dell’asse delle . Dall’equazione (4) ricaviamo in particolare che la velocità orizzontale del centro di massa del sistema all’istante iniziale è nulla, ossia

(5)

Tuttavia, abbiamo precedentemente dimostrato che il centro di massa del sistema è in quiete nella posizione . Quindi segue che per un generico istante è verificata la seguente equazione

(6)

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato la prima equazione del sistema (1). In altri termini la precedente equazione ci dice che il centro di massa rimane in quiete per ogni istante di tempo . Osserviamo che le forze esterne al sistema sono le due forze peso (che sono forze conservative) e la reazione vincolare esercitata su che però non compie lavoro essendo essa istante per istante perpendicolare alla direzione del moto di . Nel sistema in esame sono presenti anche due forze interne, ossia le tensioni del filo su ciascuna massa. Tuttavia, poiché il filo risulta inestensibile, le due masse sono sempre alla stessa distanza per cui le forze interne complessivamente fanno lavoro nullo (come avviene nel caso di un corpo rigido). Infine, il moto si svolge in assenza di attrito per cui l’energia meccanica dell’intero sistema è conservata. Partendo dalla configurazione di partenza (fig.3a), il sistema in un certo istante passerà per la configurazione di allineamento dei due corpi (fig.3b), ed il corpo si sarà spostato dall’origine di . Proseguendo, il filo al quale sono collegati formerà un angolo con la verticale (fig.3c). In questa configurazione le velocità dei due corpi saranno nulle per simmetria con la configurazione iniziale (si ricordi che si conserva l’energia meccanica totale del sistema) ed il corpo si sarà spostato ancora di verso destra rispetto allo step precedente. Dopodiché i due corpi passeranno nuovamente per la posizione di allineamento (fig.3d) per poi ritornare nella configurazione iniziale (fig.3e), e così via. Per quanto detto segue che il corpo compie un moto periodico lungo la guida orizzontale con un’ampiezza pari ad

 

 

   

Figura 3: schematizzazione evoluzione del sistema fisico in esame.

Per calcolare i moduli delle velocità dei due corpi quando questi risultano allineati possiamo utilizzare la legge della conservazione dell’energia meccanica e della quantità di moto del centro di massa rispetto all’asse . Consideriamo lo stesso sistema di riferimento definito nel punto 1. Inoltre, sia il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale come illustrato in figura 4. 

 

 

 

Figura 4: sistema nella configurazione iniziale (sx) ed in quella finale (dx).

 Consideriamo come configurazione iniziale quella in cui le due masse sono in quiete e la massa forma un angolo . L’energia meccanica del sistema in questa configurazione, è data dal solo contributo gravitazionale del corpo , , ossia

(7)

mentre la quantità di moto totale del sistema lungo l’asse , , è nulla come si deduce dall’equazione (5) precedentemente ottenuta, infatti

(8)

Consideriamo come configurazione finale quella in cui il filo che congiunge le due masse è perfettamente verticale (ossia l’angolo che il filo forma con la verticale è nullo). In riferimento alla configurazione finale, l’energia meccanica del sistema, , è data dal contributo cinetico dei due corpi ( e ) e dal quello gravitazionale del corpo , ossia

(9)

dove e rappresentano l’energia rispettivamente dei corpi e nella configurazione finale, mentre e sono le componenti delle velocità rispettivamente dei corpi e allo stesso istante lungo l’asse delle . Nella configurazione finale la quantità di moto totale del sistema lungo l’asse , , è data da

(10)

Dalla conservazione dell’energia meccanica, utilizzando le equazioni (7) e (9), otteniamo

(11)

Dalla conservazione della quantità di moto lungo l’asse , utilizzando le equazioni (8) e (10), si ha

(12)

Mettendo a sistema le equazioni (11) e (12) otteniamo che

(13)

Inserendo la seconda equazione del sistema (13) nella prima, si ha che

(14)

da cui dividendo ambo i membri per , si ottiene

(15)

Quindi il modulo della velocità del secondo corpo è dato da 

 

Dalla seconda equazione del sistema (13), in virtù dell’espressione di appena ottenuta, si ricava che la componente della velocità del primo corpo è pari a

(16)

da cui otteniamo che il modulo della velocità del primo corpo vale 

 

 

Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.