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Esercizio sistemi di punti materiali 33

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 33 rappresenta il trentatreesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 32, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 34.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 33

Esercizio 33 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una pallina di massa m è posta sulla sommità di una semisfera liscia di massa M e raggio r, posta a sua volta in quiete su un piano orizzontale liscio. Dimostrare che se la pallina viene spostata leggermente dalla posizione di equilibrio instabile con una velocità iniziale trascurabile, l’angolo di distacco \theta, ossia l’angolo che la direzione passante per il centro della semisfera e la pallina forma con la verticale, soddisfa la seguente equazione algebrica:

\[$\dfrac{m}{m+M}\cos^3\theta-3\cos\theta+2=0$.\]

 

 

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Svolgimento.

Per risolvere il problema scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, con l’origine O coincidente con il centro della semisfera, e tale che l’asse x giaccia sul piano orizzontale. Le forze esterne che agiscono sul sistema formato dalla pallina e dalla semisfera sono la forza peso m\vec{g} della pallina, la forza peso M\vec{g} della sfera, e la reazione vincolare \vec{R} del piano orizzontale. Dal momento che le forze peso sono conservative e che la reazione vincolare \vec{R} fa lavoro complessivo nullo (perché \vec{R} è perpendicolare istante per istante alla velocità del centro di massa della sfera M), sappiamo che l’energia meccanica totale del sistema si conserva; inoltre, dal momento che non agisce alcuna forza sul sistema lungo l’asse delle x, possiamo concludere che lungo la direzione orizzontale si conserva anche la quantità di moto totale del sistema.

 

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All’istante t=0, il sistema è in quiete, pertanto ponendo l’energia potenziale nulla alla quota y=0, avremo che l’energia meccanica totale è

(1) \begin{equation*} E_i=mgr+Mgy_M, \end{equation*}

dove y_M è l’ascissa del centro di massa della semisfera. Spostando la pallina dalla sua posizione di equilibrio instabile, essa inizia a scivolare lungo la superficie della semisfera, spostandosi con velocità \vec{v}_m, rispetto al sistema di riferimento Oxy, mentre la semisfera si sposterà rigidamente nel verso negativo delle x con velocità pari ad \vec{V}_{Mx}. Si osservi che M è vincolato a muoversi lungo il piano orizzontale, pertanto avrà una velocità diretta nel verso negativo delle x, mentre m è vincolato a muoversi lungo la guida circolare. In un generico istante t>0 prima del distacco, possiamo dunque esprimere l’energia meccanica totale come

(2) \begin{equation*} E_f=\dfrac{1}{2}mv_m^2+\dfrac{1}{2}Mv_{Mx}^2+mgR\cos\theta, \end{equation*}

dove \theta è l’angolo compreso tra il raggio r che unisce la pallina al centro della semisfera e la verticale (si veda la figura 3), v_m è il modulo della velocità \vec{v}_m, e v_{Mx} è il modulo della velocità \vec{v}_{Mx}. L’energia meccanica si conserva, pertanto

(3) \begin{equation*} E_i=E_f\quad\Leftrightarrow\quad mgR=\dfrac{1}{2}mv_m^2+\dfrac{1}{2}Mv_{Mx}^2+mgR\cos\theta+Mgy_M. \end{equation*}

Lungo l’asse delle x non sono presenti forze esterne, pertanto si conserva la quantità di moto totale del sistema. All’istante di tempo t=0 avremo che la quantità di moto p_x del sistema è nulla, cioè p_x=0, in quanto il sistema è in quiete. Nel generico istante t>0 la quantità di moto del sistema è

(4) \begin{equation*} p_x=mv_{mx}-Mv_{Mx}, \end{equation*}

dove v_{mx} e v_{Mx} sono le velocità rispettivamente di m ed M lungo l’asse delle x. Si osservi che v_{mx}>0 e v_{Mx}>0. Per la conservazione della quantità di moto del sistema, si ha

(5) \begin{equation*} mv_{mx}-Mv_{Mx}=0\quad\Leftrightarrow\quad mv_{mx}=Mv_{Mx}. \end{equation*}

Andiamo ora ad analizzare il moto della pallina durante la discesa lungo la superficie della semisfera: per fare ciò, scegliamo un sistema di riferimento O^{\prime} x^{\prime}y^{\prime} solidale al centro della semisfera, come quello rappresentato in figura 4. La pallina esercita sulla semisfera una forza di contatto -\vec{N}, la quale accelera il corpo di massa M rispetto al riferimento fisso con accelerazione di modulo pari ad A (si noti che dalla seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle x si ha -N\sin\theta=MA.); dunque, si deduce che il sistema di riferimento O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime} è un sistema non inerziale. È chiaro che l’accelerazione \vec{A} è diretta nel verso negativo dell’asse delle x. Ciò implica che, in questo sistema di riferimento, le forze che agiscono sulla pallina di massa m siano la sua forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} dovuta al contatto con la semisfera, e la forza apparente -m\vec{A}.

 

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Per il secondo principio della dinamica sappiamo che, proiettando le forze lungo la direzione radiale rispetto al centro della semisfera, vale la relazione

(6) \begin{equation*} N-mg\cos\theta+mA\sin\theta=-ma_c, \end{equation*}

dove, dal momento che la superficie su cui è vincolata a muoversi la pallina è semisferica, sappiamo che il suo moto è circolare, e quindi a_c è l’accelerazione centripeta. Possiamo dunque riscrivere la (6) come

(7) \begin{equation*} N-mg\cos\theta+mA\sin\theta=-m\omega^2R, \end{equation*}

dove \omega=\dot{\theta} è la velocità angolare della massetta m nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime. Nell’istante del distacco, si avrà che \vec{N}=-\vec{N}=\vec{0}, dunque in questa configurazione la somma delle forze agenti sulla semisfera è nulla; questo implica che il sistema O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime} diventi istantaneamente inerziale nel momento del distacco e dunque che sulla pallina non agisca più alcuna forza apparente. Potremo dunque riscrivere la (7) come

(8) \begin{equation*} mg\cos\theta=m\omega^2R. \end{equation*}

Inoltre, nel sistema fisso Oxy, possiamo scrivere la velocità \vec{v}_m come composizione della velocità di rotazione della pallina lungo la superficie semisferica e della velocità traslazionale della semisfera stessa. Si ha

(9) \begin{equation*} \vec{v}_m=(-v_{Mx}+\omega R\cos\theta)\,\hat{x}-\omega R\sin\theta\,\hat{y}, \end{equation*}

o anche

(10) \begin{equation*} {v}_{mx}\hat{x}+ {v}_{my}\hat{y}=(-v_{Mx}+\omega R\cos\theta)\,\hat{x}-\omega R\sin\theta\,\hat{y}, \end{equation*}

cioè

(11) \begin{equation*} \begin{cases} {v}_{mx}=-v_{Mx}+\omega R\cos\theta\\ {v}_{my}=-\omega R\sin\theta. \end{cases} \end{equation*}

Mettiamo a sistema le equazioni (3), (5), (8) e (11), ottenendo

(12) \begin{equation*} \begin{cases} mgR=\dfrac{1}{2}mv_m^2+\dfrac{1}{2}Mv_{Mx}^2+mgR\cos\theta\\ mv_{mx}=Mv_{Mx}\\ mg\cos\theta=m\omega^2R\\ v_{mx}=-v_{Mx}+\omega R\cos\theta\\ v_{my}=-\omega R\sin\theta. \end{cases} \end{equation*}

Dalla (12)_3, ricaviamo l’espressione della velocità angolare della pallina, ossia

(13) \begin{equation*} \omega=\sqrt{\dfrac{g\cos\theta}{R}}, \end{equation*}

che possiamo inserire nella (12)_5 per ottenere la velocità della pallina lungo l’asse y. In particolare, si avrà

(14) \begin{equation*} v_{my}=-\sqrt{\dfrac{g\cos\theta}{R}}R\sin\theta=-\sin\theta\sqrt{gR\cos\theta}. \end{equation*}

Dalla (12)_2, sappiamo che

(15) \begin{equation*} v_{Mx}=\dfrac{m}{M}v_{mx}, \end{equation*}

dunque sostituendo questo risultato nella (12)_4, ed esprimendo \omega come nella (13), troviamo

(16) \begin{equation*} \begin{aligned} &v_{mx}=-\dfrac{m}{M}v_{mx}+\sqrt{\dfrac{g\cos\theta}{R}}R\cos\theta\quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac{m+M}{M}\right)v_{mx}=\cos\theta\sqrt{gR\cos\theta}\quad\Leftrightarrow\quad\\ &\quad\Leftrightarrow\quad v_{mx}=\dfrac{M}{m+M}\cos\theta\sqrt{gR\cos\theta}. \end{aligned} \end{equation*}

Possiamo dunque calcolare il quadrato del modulo della velocità v_m, ossia

(17) \begin{equation*} v_{m}^2=v_{mx}^2+v_{my}^2=\left(\dfrac{M}{m+M}\right)^2\cos^2\theta\, \left(gR\cos\theta\right)+\sin^2\theta\,\left(gR\cos\theta\right)=\left(\dfrac{M}{m+M}\right)^2gR\cos^3\theta+gR\sin^2\theta\,\cos\theta. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (16) e (15), si trova inoltre

(18) \begin{equation*} v_{Mx}=\dfrac{m}{m+M}\cos\theta\sqrt{gR\cos\theta}\quad\Leftrightarrow\quad v_{Mx}^2=\left(\dfrac{m}{m+M}\right)^2gR\cos^3\theta. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (17), (18) e (12)_1, troviamo

\[\begin{aligned} &mgR=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{M}{m+M}\right)^2gR\cos^3\theta+\dfrac{1}{2}mgR\sin^2\theta\,\cos\theta+\dfrac{1}{2}M\left(\dfrac{m}{m+M}\right)^2gR\cos^3\theta+mgR\cos\theta\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\quad\Leftrightarrow\quad mgR(1-\cos\theta)=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{M}{m+M}\right)^2gR\cos^3\theta+\dfrac{1}{2}mgR(1-\cos^2\theta)\cos\theta+\dfrac{1}{2}M\left(\dfrac{m}{m+M}\right)^2gR\cos^3\theta, \end{aligned}\]

da cui, dividendo entrambi i membri per un fattore mgR, si ottiene

\[\begin{aligned} &1-\cos\theta=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{M}{m+M}\right)^2\cos^3\theta+\dfrac{1}{2}(1-\cos^2\theta)\cos\theta+\dfrac{1}{2}Mm\left(\dfrac{1}{m+M}\right)^2\cos^3\theta\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\quad\Leftrightarrow\quad1-\dfrac{3}{2}\cos\theta=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{M}{m+M}\right)^2\cos^3\theta-\dfrac{1}{2}\cos^3\theta+\dfrac{1}{2}\dfrac{mM}{(m+M)^2}\cos^3\theta\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\quad\Leftrightarrow\quad 2-3\cos\theta=\left(\dfrac{M^2+mM}{(m+M)^2}-1\right)\cos^3\theta\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\quad\Leftrightarrow\quad2-3\cos\theta=\left(\dfrac{M^2+mM-M^2-2mM-m^2}{(m+M)^2}\right)\cos^3\theta\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\quad\Leftrightarrow\quad 2-3\cos\theta=\left(\dfrac{-m(M+m)}{(m+M)^2}\right)\cos^3\theta, \end{aligned}\]

da cui, semplificando ulteriormente, si ottiene

\[\boxcolorato{fisica}{\dfrac{m}{m+M}\cos^3\theta-3\cos\theta+2=0,}\]

cioè la tesi.


 

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