Esercizio sistemi di punti materiali 19

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 19 rappresenta il diciannovesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 18, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 20.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

Testo esercizio sistemi di punti materiali 19

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Due punti materiali di massa $m_1 = m_2 = m$ , fissati alla fine di un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza $2r$ , formano un angolo fisso $\theta$ con la verticale, come in figura 1. Il sistema è tenuto in rotazione a velocità angolare di modulo, direzione e verso costante $\vec{\omega}$ rispetto all’asse di rotazione passante per il centro di massa dell’asta, come rappresentato in figura 1. Si determini il momento angolare $\vec{L}$ e la sua variazione rispetto al tempo $d\vec{L}/d \, t$ rispetto al polo $O$ indicato in figura 1.

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxyz$

orientato come in figura 2 e analizziamo il sistema fisico composto dalle due masse e dall’asta di massa trascurabile. Sia $\phi$

l’angolo che la proiezione dell’asta nel piano $xy$

forma con il semiasse positivo delle $y$

, come rappresentato in figura 2.

Il momento angolare totale del sistema fisico in esame rispetto al polo $O$ , indicato con $\vec{L}$ , è

(1) $\begin{equation*} \vec{L} = \vec{L}_1 + \vec{L}_2 = m_1\,\vec{r}_1 \wedge \vec{v}_1 + m_2\,\vec{r}_2 \wedge \vec{v}_2, \end{equation*}$

dove $\vec{L}_1$ , $\vec{L}_2$ , $\vec{r}_1$ , $\vec{r}_2$ , $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ sono rispettivamente il momento angolare della massa $m_1$ rispetto al polo $O$ , il momento angolare della massa $m_2$ rispetto al polo $O$ , il raggio vettore della massa $m_1$ , il vettore posizione della massa $m_2$ , la velocità del corpo di massa $m_1$ e la velocità della massa $m_2$ . Grazie a semplici considerazione geometriche dalla figura 2 si deduce che

(2) $\begin{equation*} \vec{r}_1 = r \cos \theta \,\hat{z} + r \sin\theta (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \,\hat{x}) \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \vec{r}_2 = -\vec{r}_1 = -r \cos \theta\, \hat{z} - r \sin\theta (\cos\phi\, \hat{y}- \sin\phi \,\hat{x}), \end{equation*}$

dove $\hat{x}$ , $\hat{y}$ e $\hat{z}$ sono rispettivamente i versori degli assi $x$ , $y$ e $z$ . I corpi si muovo di moto circolare uniforme attorno l’asse di rotazione, pertanto la loro velocità angolare è pari a $\vec{\omega} = \omega \, \hat{z}$ . Calcoliamo le velocità iniziando con $\vec{v}_1$ e utilizzando la relazioni geometriche descritte nelle equazioni (2), cioè

(4) $\begin{equation*} \begin{split} \vec{v}_1 = \vec{\omega} \wedge \vec{r}_1 &= \omega \,\hat{z} \wedge \big[ r \cos \theta \,\hat{z} + r \sin\theta (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \,\hat{x})\big],\\ &=\omega r \cos \theta (\hat{z}\wedge \hat{z}) + \omega r \sin\theta \big(\cos\phi (\hat{z}\wedge\hat{y})- \sin\phi (\hat{z}\wedge \hat{x})\big),\\ & = -\omega r \sin \theta (\cos\phi \,\hat{x} + \sin \phi \,\hat{y}), \end{split} \end{equation*}$

dove abbiamo usato che $\hat{z}\wedge \hat{y} = -\hat{x}$ e che $\hat{z} \wedge\hat{x} = \hat{y}$ . Dato che $\vec{r}_1 = -\vec{r}_2$ otteniamo direttamente $\vec{v}_2$ grazie alle proprietà del prodotto vettoriale

(5) $\begin{equation*} \vec{v}_2 = \vec{\omega} \wedge \vec{r}_2 = - \vec{\omega} \wedge \vec{r}_1 = -\vec{v}_1. \end{equation*}$

Calcoliamo il primo momento angolare $\vec{L}_1$ utilizzando le relazioni trovate nelle equazioni (2) e (4). Abbiamo dunque

$\begin{equation*} \begin{split} \vec{L}_1 &= m\,\vec{r}_1 \wedge\vec{v}_1 = m\big[ r \cos \theta \,\hat{z} + r \sin\theta (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi\, \hat{x})\big] \wedge \big[- \omega r \sin \theta (\cos\phi \,\hat{x} + \sin \phi \,\hat{y})\big]=\\ & = -m\omega r^2 \sin \theta \big[ \cos \theta \,\hat{z} + \sin\theta (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \,\hat{x})\big] \wedge \big[\cos\phi \,\hat{x} + \sin \phi\, \hat{y}\big]=\\ & = -m \omega r^2 \sin\theta \big[ \cos \theta\cos\phi \,\hat{z} + \sin\theta\cos\phi (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \, \hat{x})\big]\wedge \hat{x} \,+\\ &\qquad -m\omega r^2\sin\theta \big[ \cos\theta\sin\phi\, \hat{z} + \sin\theta\sin\phi (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \,\hat{x})\big]\wedge \hat{y} =\\ & = -m\omega r^2 \sin\theta \big( \cos \theta\cos\phi\, \hat{y} - \sin\theta\cos^2\phi\, \hat{z}\big)-m\omega r^2\sin \theta \big( -\cos\theta\sin\phi \,\hat{x} - \sin\theta \sin^2\phi \, \hat{z}\big)=\\ & = m\omega r^2\sin\theta \big[\cos\theta\sin\phi \,\hat{x} - \cos\theta \cos\phi \,\hat{y} +\sin\theta\underbrace{(\cos^2\phi + \sin^2\phi)}_{=1} \hat{z}\big]=\\ & = m\omega r^2\sin\theta \big(\cos\theta\sin\phi \,\hat{x} - \cos\theta \cos\phi \,\hat{y} +\sin\theta\, \hat{z}\big). \end{split} \end{equation*}$

Definiamo la distanza del corpo di massa $m_1$ dall’asse $z$ come $R \coloneqq r\sin\theta$ , da cui la precedente equazione diventa

(6) $\begin{equation*} \vec{L}_1 = m\omega R \big(r\cos\theta\sin\phi\, \hat{x} - r\cos\theta \cos\phi \,\hat{y} +R \,\hat{z}\big). \end{equation*}$

Il calcolo di $\vec{L}_2$ è immediato in quanto $\vec{r}_2 = -\vec{r}_1$ e $\vec{v}_2 = -\vec{v}_1$ . Abbiamo dunque

(7) $\begin{equation*} \vec{L}_2 = m\,\vec{r}_2 \wedge \vec{v}_2 = m(-\vec{r}_1) \wedge (-\vec{v}_1) = m\,\vec{r}_1 \wedge \vec{v}_1 = \vec{L}_1. \end{equation*}$

Sfruttando le equazioni (6) e (7) l’equazione (1) diventa

$\boxcolorato{fisica}{ \vec{L} = \vec{L}_1 + \vec{L}_2 = 2m\omega R \big(r\cos\theta\sin\phi\, \hat{x} - r\cos\theta \cos\phi \,\hat{y} +R \,\hat{z}\big).}$

Calcoliamo ora la derivata temporale del momento angolare del sistema $\vec{L}$ . Le quantità $r$ , $R$ e $\theta$ sono costanti, mentre invece $\phi = \phi(t)$ in quanto i corpi ruotano attorno l’asse $\hat{z}$ . Inoltre, la variazione di questo angolo è pari al modulo della velocità angolare $d\phi(t)/d\,t = \omega$ . Ne segue che

$\begin{equation*} \begin{split} {d\vec{L} (t)\over d \, t} &= 2m\omega R \big[r\cos\theta{d \sin \phi(t) \over d \, t} \,\hat{x} - r\cos\theta {d \cos\phi(t) \over d \, t}\,\hat{y} \big]=\\ & = 2m\omega R \big[r\cos\theta\cos \phi{d \phi(t) \over d \, t} \,\hat{x} + r\cos\theta \sin\phi {d \phi(t) \over d \, t}\,\hat{y} \big]=\\ & = 2m\omega R \big[r\omega\cos\theta\cos \phi\,\hat{x} + r\omega\cos\theta \sin\phi\, \hat{y} \big]. \end{split} \end{equation*}$

Si conclude che

$\boxcolorato{fisica}{ {d \vec{L} (t)\over d \, t} = 2m\omega^2 R \big(r\cos\theta\cos \phi\,\hat{x} + r\cos\theta \sin\phi\,\hat{y} \big).}$

Osservazione.

Calcoliamo

(8) $\begin{equation*} \bigg| {d \vec{L} (t)\over d \, t} \bigg| = 2m\omega^2 R r \sqrt{\cos^2\theta\cos^2 \phi+ \cos^2\theta \sin^2\phi} =2m\omega^2Rr\sqrt{\cos^2 \theta} = 2m\omega^2Rr\cos \theta, \end{equation*}$

dove nell’ultima uguaglianza si è utilizzato il fatto che per costruzione $\theta\in[0;\pi/2]$ e pertanto $\sqrt{\cos^2\theta} = \cos \theta$ . Inoltre, si ha

(9) $\begin{equation*} \left \vert \vec{L}\right \vert =2m\omega R\sqrt{r^2\cos^2 \theta \sin^2\phi+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+R^2} =2m\omega R\sqrt{r^2\cos^2\theta+R^2}. \end{equation*}$

Dalle due precedenti equazioni osserviamo che il modulo del momento angolare e il modulo della derivata del momento angolare sono costanti e diversi da zero. Dunque, per il teorema del momento angolare risulta chiaro che deve essere presente un momento esterno che non fa conservare il momento angolare rispetto al polo $O$ .

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