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Esercizio sistemi di punti materiali 18

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

Home » Esercizio sistemi di punti materiali 18

Esercizio sui sistemi di punti materiali 18 rappresenta il diciottesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 17, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 19.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 18

Esercizio 18 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Due corpi di massa m_1 e m_2=3m_1 agganciati agli estremi di una molla di massa trascurabile, si trovano su di un piano orizzontale liscio. La molla è ideale, ha costante elastica k e lunghezza a riposo L. Inizialmente la molla è tenuta compressa di un tratto \ell_0 mediante un filo collegato alle due masse. Tagliato il filo, si lasciano muovere i due corpi sotto l’azione della molla. Si determini la velocità massima raggiunta dai due corpi rispetto ad un osservatore solidale al suolo. Si esprimano i risultati in funzione delle variabili \ell_0, k e m_1.

 

 

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Svolgimento primo metodo.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy solidale con il suolo tale per cui l’asse delle x coincide con la direzione della molla, come raffigurato in figura 2. Indichiamo con \vec{x}_1 e \vec{x}_2 i raggi vettori rispettivamente del corpo di massa m_1 e del corpo di massa m_2. Le forze agenti sono le forze peso, le reazione normali generate dal contatto con la superficie e le forze elastiche esercitate dalla molla. Poiché le due massa m_1 e m_2 sono vincolate a muoversi nella sola direzione dell’asse delle x e il piano è liscio nei calcoli successivi possono essere trascurate le forze peso e le reazioni vincolari agenti sulle due masse; il moto delle due masse lungo l’asse delle x è unicamente determinato dalle forze elastiche agenti su di esse. Le forze agenti sul sistema fisico costituito dai due corpi di massa m_1 e m_2 e dalla molla priva di massa nel sistema O{xy}, sono rappresentate in figura 2. Sul corpo m_1 le forze agenti sono: la forza peso \vec{P}_1, la reazione vincolare \vec{R}_1 e la forza elastica \vec{F}_e, mentre per il corpo m_2 sono la forza peso \vec{P}_2. Per il corpo m_2 le forze agenti sono: la forza peso \vec{P}_2, la reazione vincolare \vec{R}_2 e la forza elastica -\vec{F}_e che ha lo stesso modulo ma verso opposto della forza elastica \vec{F}_e agente sul corpo m_1. Sui due corpi m_1 e m_2 sono agenti le forze \vec{F}_e e -\vec{F}_e per l’ipotesi di massa trascurabile della molla.

 

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Il sistema fisico considerato nella direzione dell’asse delle x è sottoposto all’azione di sole forze interne, cioè le due forze delle molle, pertanto si conserva la quantità di moto totale \vec{P} e poiché il sistema fisico in esame è inizialmente in quiete avremo che ad ogni tempo t\geq 0 si ha \vec{P}=\vec{0}, quindi

(1)   \begin{equation*} \vec{P}=m_1{d\,\vec{x}_1\over d\,t} + m_2 {d\,\vec{x}_2\over d\,t}=0. \end{equation*}

Dall’equazione (1) si ricava

(2)   \begin{equation*} {d\,\vec{x}_2\over d\,t} = -{m_1\over m_2}{d\,\vec{x}_1\over d\,t} \quad \Rightarrow\quad \dot{x}_2 = -{m_1\over m_2}\dot{x}_1, \end{equation*}

dove la notazione \dot{x}_1 e \dot{x}_2 indica rispettivamente la componente della velocità per il corpo m_1 e la componente della velocità del corpo m_2. L’energia iniziale del sistema è data dall’energia elastica della molla compressa di un tratto \ell_0 rispetto alla sua posizione di riposo L, cioè

(3)   \begin{equation*} E_i = {1\over 2}k\ell_0^2. \end{equation*}

Una volta tagliato il filo i corpi sono liberi di muoversi sotto l’azione delle forze elastiche che in quanto conservative mantengono costante l’energia totale del sistema. Indichiamo con x_1 la posizione lungo l’asse x del corpo m_1 e con x_2 la posizione lungo l’asse x del corpo m_2, come indicato in figura 2. Ad un generico tempo t\geq0 la compressione della molla è pari a x_2-x_1-L. L’energia totale del sistema nel generico istante t\geq 0 è quindi

(4)   \begin{equation*} E = U_e + K, \end{equation*}

dove U_e e K rappresentano rispettivamente l’energia potenziale della molla e K l’energia cinetica del sistema fisico in esame. La scrittura analitica dell’energia potenziale è

(5)   \begin{equation*} U_e = {1\over 2}k(x_2-x_1-L)^2+\text{costante}, \end{equation*}

mentre l’energia cinetica è

(6)   \begin{equation*} K = {1\over 2}m_1 (\dot{x}_1)^2 + {1\over 2}m_2(\dot{x}_2)^2. \end{equation*}

La velocità massima dei due corpi si ottiene quando l’energia cinetica totale del sistema è massima. Riscrivendo l’equazione (4) otteniamo

(7)   \begin{equation*} K = E - U_{e}(x_1,x_2) = {1\over 2}k\ell_0^2- {1\over 2}k(x_2-x_1-L)^2. \end{equation*}

Per la scrittura analitica della precedente equazione osserviamo che

(8)   \begin{equation*} {1\over 2}k\ell_0^2 >0, \end{equation*}

e

(9)   \begin{equation*} - {1\over 2}k(x_2-x_1-L)^2 \leq 0, \end{equation*}

pertanto risulta chiaro che affinché K sia massima

(10)   \begin{equation*} {1\over 2}k(x_2-x_1-L)^2 =0, \end{equation*}

cioè l’energia elastica U_e deve essere minima. Nel caso in cui x_2-x_1=L l’energia elastica diventa uguale a zero, pertanto l’energia cinetica massima K_{\max} è pari a

(11)   \begin{equation*} K_{\max} = {1\over 2}m_1 (\dot{x}_{1,\max})^2 + {1\over 2}m_2(\dot{x}_{2,\max})^2 = {1\over 2}k\ell_0^2, \end{equation*}

\label{12} dove \dot{x}_{1,\max} e \dot{x}_{2,\max} sono le componenti massime delle velocità rispettivamente del corpo m_1 e m_2. Mettendo a sistema l’equazione (11) con l’equazione (2) otteniamo per il corpo di massa m_1 la seguente equazione

(12)   \begin{equation*} K_{\max} = {1\over 2}m_1(\dot{x}_{1,\max})^2+{1\over 2}{m_1^2\over m_2}(\dot{x}_{1,\max})^2 = {1\over 2}{m_1\over m_2}(m_1+m_2)(\dot{x}_{1,\max})^2 = {1\over 2}k\ell_0^2, \end{equation*}

da cui ricaviamo la soluzione del problema per il corpo di massa m_1

    \[\boxcolorato{fisica}{ \dot{x}_{1,\max} = \ell_0 \sqrt{m_2 k \over m_1(m_1+m_2)} = \ell_0 \sqrt{3 k \over 4 m_1}.}\]

Mettendo a sistema la soluzione precedente con l’equazione (2) per il corpo di massa m_2 otteniamo

(13)   \begin{equation*} \dot{x}_{2,\max} = -{m_1\over m_2}\dot{x}_{1,\max} = -{m_1\over m_2} \ell_0 \sqrt{3 k \over 4 m_1}=-{1\over 3} \ell_0 \sqrt{3 k \over 4 m_1}, \end{equation*}

da cui otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ \dot{x}_{2,\max} = -\ell_0 \sqrt{ k \over 12 m_1}.}\]

Si noti come le componenti massime delle velocità per i due corpi siano opposte per rispettare la conservazione della quantità di moto del sistema.

 


Svolgimento secondo metodo.

In questo procedimento scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy tale per cui all’istante iniziale t=0 il corpo di massa m_1 sia posizionato nell’origine O, come in figura 3. Le condizioni iniziali dei corpi sono x_1(0)=0 e x_2(0) = L-\ell. Calcoliamo la posizione del centro di massa del sistema costituito dai due corpi e dalla molla nell’istante iniziale t=0, cioè

 

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Come visto nel primo metodo, dato che la quantità di moto totale del sistema è nulla, in altri termini equivale a dire che il centro di massa del sistema è in quiete rispetto al sistema di riferimento Oxy ad ogni istante t\geq 0, pertanto abbiamo che x_{\text{CM}}(t) = x_{\text{CM}}(0). Mettendo a sistema l’equazione (??) con la definizione di centro di massa otteniamo

(14)   \begin{equation*} \dfrac{m_2}{\cancel{m_1+m_2}}(L-\ell_0) = \dfrac{m_1 x_1 + m_2x_2}{\cancel{m_1 + m_2}} \quad \Rightarrow \quad x_2= \dfrac{m_2(L-\ell_0) - m_1 x_1}{m_2}. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (7) con l’equazione (14), si ottiene

(15)   \begin{equation*} K = {1\over 2}k\ell_0^2-{1\over 2}k\bigg(\cancel{L}-\ell_0-\dfrac{m_1}{m_2}x_1-x_1-\cancel{L}\bigg)^2 = {1\over 2}k\ell_0^2 -{1\over 2}k\bigg[\bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_1}\bigg)x_1+\ell_0\bigg]^2. \end{equation*}

I due corpi raggiungono velocità massima quando l’energia cinetica è massima, calcoliamone la derivata rispetto alla posizione x_1

(16)   \begin{equation*} \dfrac{d\, K(x_1)}{d\,x_1} = - k\bigg[\bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_1}\bigg)x_1+\ell_0\bigg]\bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_1}\bigg), \end{equation*}

pertanto la posizione \tilde{x}_1 del corpo m_1 tale per cui l’energia cinetica del sistema è massima è

(17)   \begin{equation*} \dfrac{d\, K(x_1)}{d\,x_1}\bigg|_{x_1=\tilde{x}_1} = 0 \quad \iff \quad \tilde{x}_{1} = -\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\ell_0. \end{equation*}

Ne segue che il valore massimo di energia cinetica è

(18)   \begin{equation*} K_{\max} = K(\tilde{x}_1)= {1\over 2}k \ell_0^2 -{1\over 2}k\bigg[\bigg(\dfrac{m_1 + m_2}{m_1}\bigg)\bigg(-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\ell_0\bigg) + \ell_0\bigg]^2 = {1\over 2 }k\ell_0^2, \end{equation*}

che è la stessa soluzione trovata nell’equazione (12). Si noti che con questo procedimento si verifica formalmente la condizione intuita nel metodo precedente, ovvero che l’energia cinetica massima si ottiene quando l’energia potenziale elastica è nulla. Da quanto ottenuto è possibile riprendere l’equazione (12), cioè

(19)   \begin{equation*} {1\over 2}{m_1\over m_2}(m_1+m_2)(\dot{x}_{1,\max})^2 = {1\over 2}k\ell_0^2. \end{equation*}

La precedente equazione calcolata a velocità del corpo m_1 massima diventa

(20)   \begin{equation*} {1\over 2}{m_1\over m_2}(m_1+m_2)\dot{x}_{1,\max}^2 = {1\over 2} k \ell_0^2, \end{equation*}

pertanto concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \dot{x}_{1,\max} = \ell_0 \sqrt{m_2 k \over m_1(m_1+m_2)} = \ell_0 \sqrt{3 k \over 4 m_1}.}\]

Analogamente al metodo precedente, mettendo a sistema il risultato precedente con l’equazione (2), si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ \dot{x}_{2,\max} = -\ell_0 \sqrt{m_1 k \over m_2(m_1+m_2)} = - \ell_0 \sqrt{ k \over 12 m_1}.}\]

 


Approfondimento.

In questo ultimo procedimento mostreremo a partire da condizioni dinamiche che l’energia potenziale elastica si annulla quando l’energia cinetica del sistema è massima. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy descritto dalla figura 3. Ad ogni tempo t>0 la seconda legge della dinamica per il sistema fisico composto dai due corpi si scrive come

(21)   \begin{equation*} \begin{cases} k(x_2-x_1-L) = m_1\ddot{x}_1\\ -k(x_2-x_1-L) = m_2\ddot{x}_2, \end{cases} \end{equation*}

dove \ddot{x}_1 e \ddot{x}_2 indicano rispettivamente la componente dell’accelerazione del corpo m_1 e del corpo m_2. Mettendo a sistema la prima equazione del sistema con l’equazione (14), otteniamo

(22)   \begin{equation*} k\bigg(\cancel{L} -\ell_0 -\dfrac{m_1}{m_2}x_1-x_1-\cancel{L}\bigg) = -k\bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_2}\bigg)x_1 - k\ell_0 = m_1 \ddot{x}_1, \end{equation*}

che risulta essere l’equazione differenziale che descrive il moto di un corpo che si muove di moto armonico semplice. La velocità massima in un moto armonico si verifica quando l’accelerazione è nulla, per il corpo m_1 ciò avviene alla posizione \tilde{x}_1

(23)   \begin{equation*} \ddot{x}_1 = 0 \quad \iff \quad k\bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_2}\bigg)\tilde{x}_{1} + k\ell_0 = 0 \quad \Rightarrow\quad \tilde{x}_1 = -\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\ell_0, \end{equation*}

che è proprio la posizione ottenuta nel metodo precedente nell’equazione (17). Mettendo a sistema il risultato precedente con l’equazione (14) otteniamo la posizione \tilde{x}_2 per il corpo m_2

(24)   \begin{equation*} \tilde{x}_2 = L-\ell_0-\dfrac{m_1}{\cancel{m_2}}\bigg(-\dfrac{\cancel{m_2}}{m_1+m_2}\ell_0\bigg) = L -\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\ell_0. \end{equation*}

Sfruttando quanto ottenuto in (23) e (24), otteniamo la seguente energia potenziale alle posizioni \tilde{x}_1 e \tilde{x}_2 dei due corpi

(25)   \begin{equation*} \begin{split} U_{e}(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2) &= {1\over 2}k(\tilde{x}_2-\tilde{x}_1-L)^2\\ &= {1\over 2} k \bigg( L -\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\ell_0 +\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\ell_0-L\bigg)^2=0. \end{split} \end{equation*}

Pertanto a questo punto si può procedere come nel primo metodo partendo dall’equazione (11) per ottenere la soluzione del problema.

 

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