Esercizio sistemi di punti materiali 12

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 12 rappresenta il dodicesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 11, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 13.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

Testo esercizio sistemi di punti materiali 12

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due punti materiali di massa $m_1$ e $m_2=m_1/2$ sono collegati da una barretta rigida di massa trascurabile e lunghezza $\ell$ su di un piano orizzontale. Il sistema inizialmente non è in quiete, infatti $m_1$ e $m_2$ hanno velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ rispettivamente. Entrambe le velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ vanno riferite rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Inoltre, siano $v_1$ e $v_2$ i moduli rispettivamente delle velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ . Le velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ sono orientate come in figura 1. Sul sistema non agiscono forze esterne e all’istante $t=0$ la situazione è quella mostrata in figura 1, con $v_1(0)=2v_2(0)$ , dove $v_1(0)$ è il modulo della velocità iniziale di $m_1$ , ed $v_2(0)$ è il modulo della velocità iniziale di $m_2$ all’istante iniziale. Si determinino le posizioni dei due punti materiali, rispetto ad un sistema di riferimento fisso, all’istante $\tau$ tale che valga la seguente condizione $3v_1\tau/(2\ell)=\pi$ .

Richiami teorici.

Di seguito, una serie di richiami teorici che serviranno nel corso dello svolgimento di questo esercizio.

Siano $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ tre vettori qualunque, allora vale quanto segue

(1) $\begin{equation*} \vec{a} \wedge (\,\vec{b} \wedge\vec{c}\,) = \vec{b}\, (\,\vec{a} \cdot \vec{c}\,) -\vec{c} \,(\,\vec{a} \cdot \vec{b}\,). \end{equation*}$
Consideriamo un sistema fisico composto da $n$ punti materiali e non soggetto a forze esterne. Sotto tali condizioni il centro di massa del sistema rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ . Scegliamo un sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, ovvero un sistema di riferimento con gli assi paralleli agli assi del sistema di riferimento $Oxy$ , cioè $x\parallel x^\prime$ , $y\parallel y^\prime$ e $z\parallel z^\prime$ , tale per cui l’origine di questo sistema di riferimento sia coincidente con il centro di massa, in queste condizioni il sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ è inerziale. Inoltre, siano $\vec{r}^{\,\prime}_1$ , $\vec{r}^{\,\prime}_2$ …, $\vec{r}^{\,\prime}_n$ i vettori posizione di ogni punto materiale degli $n$ nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo quanto detto, nel caso particolare in cui nell’istante iniziale il centro di massa $O^\prime$ si trovi sull’asse delle $x$ e $x\equiv x^\prime$ . Il punto $P$ , in figura 1, rappresenta un punto qualunque degli $n$ , dove $\vec{r}$ e $\vec{r}^{\,\prime}$ sono le distanze di $P$ rispettivamente da $O$ e $O^\prime$ , come si può dedurre dalla figura 2.

Allora vale

(2) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k^{\,\prime}=\vec{0}. \end{equation*}$

Si osservi che il precedente risultato ha validità del tutto generale, cioè è valido anche se il sistema di riferimento solidale con il centro di massa è non inerziale; in altri termini, se il sistema fisico di $n$ punti materiale è soggetto a forze esterne, l’equazione (2) continua ad essere valida.
Nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, per il generico $k$ -esimo punto materiale, vale
(3) $\begin{equation*} \vec{v}_k=\vec{v}^{\,\prime}_k+\vec{v}_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}_k$ , $\vec{v}^{\,\prime}_k$ e $\vec{v}_{\text{CM}}$ , sono rispettivamente la velocità del $k$ -esimo punto materiale nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ , la velocità del $k$ -esimo punto materiale nel sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, e la velocità del centro di massa nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ .
onsideriamo un sistema di $n$ punti materiali e un sistema di riferimento fisso $Oxy$ . Immaginiamo che il sistema fisico venga perturbato da $N$ forze esterne. Inoltre, siano $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ la somma di tutti i momenti esterni rispetto ad un polo generico del piano $xy$ , $\vec{v}$ la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema fisico in esame, $\vec{v}_{\text{CM}}$ la velocità del centro di massa degli $n$ punti materiali rispetto al sistema di riferimento fisso $Oxy$ , ed infine $\vec{L}_O$ il momento angolare totale del sistema rispetto al polo scelto. Allora vale

(4) $\begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}. \end{equation*}$

Il precedente teorema è detto teorema del momento angolare. Grazie ad esso, se scegliamo una situazione tale per cui la somma dei momenti esterni rispetto al polo scelto è zero e $\vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}$ , si conserva il momento angolare totale del sistema degli $n$ punti materiali.

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$

, tale per cui l’origine $O$

coincida con la posizione iniziale della massa $m_1$

, e gli assi $x$

ed $y$

siano orientati come in figura 3.

Scegliamo come sistema fisico $m_1$ ed $m_2$ . Siano $x_{\text{CM},0}$ e $y_{\text{CM},0}$ rispettivamente la posizione del centro di massa lungo l’asse delle $x$ all’istante iniziale e la posizione del centro di massa lungo l’asse delle $y$ all’istante iniziale. Le posizioni iniziali lungo l’asse delle $x$ di $m_1$ ed $m_2$ sono rispettivamente $x_1(0)=0$ e $x_2(0)=\ell$ , per cui

(5) $\begin{equation*} x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_1x_1(0)+m_2x_2(0)}{m_1+m_2}=\dfrac{\dfrac{m_1}{2}\ell}{m_1+\dfrac{m_1}{2}}=\dfrac{\ell}{3}, \end{equation*}$

dove abbiamo usato il fatto che $m_2=m_1/2$ . Analogamente, le posizioni iniziali lungo l’asse delle $y$ di $m_1$ ed $m_2$ sono rispettivamente $y_1(0)=0$ e $y_2(0)=0$ , da cui

(6) $\begin{equation*} y_{\text{CM},0}=\dfrac{m_1y_1(0)+m_2y_2(0)}{m_1+m_2}=0. \end{equation*}$

La velocità del centro di massa $\overrightarrow{V}_\text{CM}$ , rispetto al sistema di riferimento $Oxy$ , è data per definizione da

(7) $\begin{equation*} \overrightarrow{V}_\text{CM}=\dfrac{m_1\vec{v}_1(t)+m_2\vec{v}_2(t)}{m_1+m_2}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}_1(t)$ e $\vec{v}_2(t)$ sono rispettivamente le velocità dei punti $m_1$ e $m_2$ in un generico istante $t>0$ , rispetto al sistema di riferimento $Oxy$ . Nel piano $xy$ (cioè il piano orizzontale) sul sistema non agiscono forze esterne, pertanto la quantità di moto del sistema è conservata, o in altri termini il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme (si ricordi il punto 2 dei richiami teorici). Per ogni $t>0$ vale

(8) $\begin{equation*} m_1\vec{v}_1(t)+m_2\vec{v}_2(t)=\text{costante}=(m_1+m_2)\vec{v}_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato l’equazione (7). Le velocità di $m_1$ , $m_2$ e del centro di massa in coordinate cartesiane, sono rispettivamente

(9) $\begin{equation*} \vec{v}_1(t)=v_{1,x}\,\hat{x}+v_{1,y}\,\hat{y}, \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \vec{v}_2(t)=v_{2,x}\,\hat{x}+v_{2,y}\,\hat{y}, \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} \vec{v}_{\text{CM}}=v_{\text{CM},x}\,\hat{x}+v_{\text{CM},y}\,\hat{y}, \end{equation*}$

dove $v_{1,x}$ , $v_{1,y}$ , $v_{2,x}$ , $v_{2,y}$ , $v_{\text{CM},x}$ , $v_{\text{CM},y}$ , $\hat{x}$ e $\hat{y}$ , sono rispettivamente la componente $x$ della velocità $\vec{v}_1(t)$ , la componente $y$ della velocità $\vec{v}_1(t)$ , la componente $x$ della velocità $\vec{v}_2(t)$ , la componente $y$ della velocità $\vec{v}_2(t)$ , la componente $x$ della velocità $\vec{v}_{\text{CM}}$ , la componente $y$ della velocità $\vec{v}_{\text{CM}}$ , il versore dell’asse delle $x$ , e il versore dell’asse delle $y$ . Nell’istante $t=0$ , sfruttando le ipotesi date dal problema, le equazioni (9) e (10) diventano

(12) $\begin{equation*} \vec{v}_1(0)=v_{1,y}(0)\,\hat{y}, \end{equation*}$

(13) $\begin{equation*} \vec{v}_2(0)=-v_{2,y}(0)\,\hat{y}. \end{equation*}$

Inoltre, ricordando che all’istante iniziale $v_1(0)=2v_2(0)$ , ovvero con le notazioni scelte equivale a dire che $v_{1,y}(0)=2v_{2,y}(0),$ le due precedenti equazioni diventano

(14) $\begin{equation*} \vec{v}_1(0)=2v_{2 }(0)\,\hat{y}, \end{equation*}$

(15) $\begin{equation*} \vec{v}_2(0)=-v_{2}(0)\,\hat{y}. \end{equation*}$

Nell’istante $t=0$ , scomponendo lungo gli assi $x$ e $y$ le quantità vettoriali nell’equazione (8), si ha

(16) $\begin{equation*} \begin{cases} x: m_1v_{1,x}(0)+m_2v_{2,x}(0)=(m_1+m_2)v_{\text{CM},x}(0)\\[10pt] y: m_1v_{1,y}(0)-m_2v_{2,y}(0)=(m_1+m_2)v_{\text{CM},y}(0), \end{cases} \end{equation*}$

ovvero

(17) $\begin{equation*} \begin{cases} 0=(m_1+m_2)v_{\text{CM},x}(0)\\[10pt] m_1(2v_2(0))-\dfrac{m_1}{2}v_2(0) =\left(m_1+\dfrac{m_1}{2}\right)v_{\text{CM},y}(0), \end{cases} \end{equation*}$

o anche

(18) $\begin{equation*} \begin{cases} v_{\text{CM},x}(0)=0\\[10pt] 4v_2(0)-v_2(0) =3v_{\text{CM},y}(0), \end{cases} \end{equation*}$

cioè

(19) $\begin{equation*} \begin{cases} v_{\text{CM},x}(0)=0\\[10pt] v_{\text{CM},y}(0)=v_2(0), \end{cases} \end{equation*}$

dove abbiamo utilizzato i risultati delle equazioni (14) e (15), oltre che $m_2=m_1/2$ .

Dunque, come detto in precedenza, sul sistema non agiscono forze esterne, pertanto il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme con velocità costante, in modulo direzione e verso, pari ad

(20) $\begin{equation*} \vec{v}_{\text{CM}}=v_2(0)\,\hat{y}. \end{equation*}$

Dalla prima equazione del sistema (19) deduciamo che lungo l’asse delle $x$ il centro di massa rimane in quiete nella posizione $x_{\text{CM},0}$ , e lungo una retta parallela all’asse delle $y$ il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme con velocità di modulo $v_2$ . Per ogni $t\geq 0$ , per il centro di massa, le leggi orarie lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ sono rispettivamente

(21) $\begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM}}(t)= x_{\text{CM},0}\\ y_{\text{CM}}(t)= y_{\text{CM},0}+v_2t. \end{cases} \end{equation*}$

Sostituendo $x_{\text{CM},0}$ e $y_{\text{CM},0}$ , calcolati rispettivamente nelle equazioni (5) e (6), nel sistema (21), si trova

(22) $\begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM}}(t)=\dfrac{\ell}{3} \\[10pt] y_{\text{CM}}(t)=v_2t. \end{cases} \end{equation*}$

Osserviamo, inoltre, che l’assenza di forze esterne implica che anche la somma dei momenti esterni al sistema è nulla e pertanto si conserva il momento angolare totale del sistema rispetto ad un qualsiasi polo avente velocità $\vec{v}$ , rispetto al sistema di riferimento $Oxy$ , tale per cui $\vec{v}\wedge \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{0}$ (si ricordi il punto 4 dei richiami teorici). Se scegliamo come polo il centro di massa è ovvio che $\vec{v}\wedge \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{v}_{\text{CM}}\wedge \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{0}$ . Da quanto detto, deduciamo che, se scegliamo come polo il centro di massa si conserva il momento angolare totale del sistema. Siano

(23) $\begin{equation*} \vec{x}_{\text{CM}}=\dfrac{\ell}{3}\,\hat{x}, \end{equation*}$

(24) $\begin{equation*} \vec{r}_1={0}\,\hat{x} \end{equation*}$

(25) $\begin{equation*} \vec{r}_2={\ell}\,\hat{x}. \end{equation*}$

Il momento angolare totale iniziale del sistema rispetto al centro di massa è

(26) $\begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-m_1\left(\vec{r}_{\text{CM}}-\vec{r}_1\right)\vec{v}_1+m_2\left(\vec{r}_2-\vec{r}_{\text{CM}}\right)\wedge \vec{v}_2, \end{equation*}$

ovvero, sfruttando le equazioni (14), (15), (23), (24) e (25), si ottiene

(27) $\begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-m_1\dfrac{\ell}{3}(2v_2)\left(\hat{x}\wedge \hat{y}\right)+m_2\left(\ell-\dfrac{\ell}{3}\right)v_2\left(\hat{x}\wedge\left(-\hat{y}\right) \right), \end{equation*}$

o anche

(28) $\begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-\dfrac{2}{3} m_1\ell v_2\,\hat{z}-\dfrac{2}{3}m_2\ell v_2\,\hat{z}, \end{equation*}$

dove $\hat{z}$ è il versore dell’asse delle $z$ . Ricordando che $m_2=m_1/2$ , la precedente equazione diventa

(29) $\begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-\dfrac{2}{3} m_1\ell v_2\,\hat{z}-\dfrac{2}{3}\,\dfrac{m_1}{2}\ell v_2\,\hat{z}, \end{equation*}$

cioè

(30) $\begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-m_1\ell v_2\,\hat{z}. \end{equation*}$

In figura 5 è rappresentata la situazione descritta.

Scegliamo un sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, tale per cui $y\parallel y^\prime$ e $x\parallel x^\prime$ , e il centro di massa coincida con l’origine $O^\prime$ . Chiaramente, siccome il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, il sistema di riferimento solidale con il centro di massa è inerziale (si ricordi il punto 2 dei richiami teorici). Rappresentiamo il sistema in un generico istante $t>0$ , dove $\theta$ è l’angolo che l’asta forma rispetto all’asse positivo delle $x^\prime$ .

Siano $\vec{r}^{\,\prime}_1$ e $\vec{r}^{\,\prime}_2$ i vettori posizione rispettivamente di $m_1$ ed $m_2$ nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, come rappresentato nella figura 6. Osserviamo che $m_1$ ed $m_2$ si trovano rispettivamente sempre alla stessa distanza $\left \vert\vec{r}^{\,\prime}_1\right \vert =\ell/3$ e $\left \vert\vec{r}^{\,\prime}_2\right \vert=2\ell/3$ dal centro di massa $O^\prime$ , perché collegati agli estremi di un’asta rigida; questo ci fa intuire che, nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, i due punti materiali $m_1$ ed $m_2$ percorrono un moto circolare, dato che l’asta ruota. Sia $\vec{\omega}$ la velocità angolare dell’asta in un generico istante $t>0$ . Il momento angolare totale $\vec{L}_t$ , in un generico istante $t>0$ , rispetto al centro di massa è

(31) $\begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \vec{v}_1+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \vec{v}_2. \end{equation*}$

Siano $\vec{v}_1^{\,\prime}$ e $\vec{v}_2^{\,\prime}$ le velocità relative di $m_1$ e $m_2$ nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Nel sistema di riferimento del centro di massa, per $m_1$ e $m_2$ , valgono rispettivamente le seguenti relazioni (si ricordi il punto 3 dei richiami teorici)

(32) $\begin{equation*} \vec{v}_1=\overrightarrow{V}_\text{CM}+\vec{v}_1^{\,\prime} \end{equation*}$

(33) $\begin{equation*} \vec{v}_2=\overrightarrow{V}_\text{CM}+\vec{v}_2^{\,\prime}. \end{equation*}$

Usando le equazioni (32) e (33) l’equazione (31) diventa

(34) $\begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \left(\overrightarrow{V}_\text{CM}+\vec{v}_1^{\,\prime}\right)+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \left(\overrightarrow{V}_\text{CM}+\vec{v}_2^{\,\prime}\right), \end{equation*}$

o anche

(35) $\begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \overrightarrow{V}_\text{CM}+m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \vec{v}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \overrightarrow{V}_\text{CM}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \vec{v}_2^{\,\prime}, \end{equation*}$

ovvero

(36) $\begin{equation*} \vec{L}_t=\left(m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\right)\wedge \overrightarrow{V}_\text{CM}+m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \vec{v}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \vec{v}_2^{\,\prime}. \end{equation*}$

Nel sistema di riferimento del centro di massa, come noto in letteratura, vale (si ricordi il punto 2 dei richiami teorici)

(37) $\begin{equation*} m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}=\vec{0}, \end{equation*}$

da cui, la precedente equazione diventa

(38) $\begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \vec{v}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \vec{v}_2^{\,\prime}. \end{equation*}$

Come detto in precedenza, $m_1$ ed $m_2$ si muovono di moto circolare nel sistema di riferimento del centro di massa, quindi

(39) $\begin{equation*} \vec{v}_1^{\,\prime}=\vec{\omega}\wedge \vec{r}_1^{\,\prime} \end{equation*}$

(40) $\begin{equation*} \vec{v}_2^{\,\prime}=\vec{\omega}\wedge \vec{r}_2^{\,\prime}. \end{equation*}$

Usando le equazioni (39) e (40) l’equazione (38) diventa

(41) $\begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}_1^{\,\prime}\right)+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}_2^{\,\prime}\right). \end{equation*}$

Applicando la formula (1) alla precedente equazione, si ha

(42) $\begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\vec{\omega}\left(\vec{r}_1^{\,\prime}\cdot \vec{r}_1^{\,\prime}\right)-m_1\vec{r}_1^{\,\prime}\left(\vec{r}_1^{\,\prime}\cdot \vec{\omega}\right)+m_2\vec{\omega}\left(\vec{r}_2^{\,\prime}\cdot \vec{r}_2^{\,\prime}\right)-m_2\vec{r}_2^{\,\prime}\left(\vec{r}_2^{\,\prime}\cdot \vec{\omega}\right). \end{equation*}$

Notando che $\vec{r}_1^{\,\prime}\cdot \vec{r}_1^{\,\prime}=\left \vert \vec{r}_1^{\,\prime}\right \vert^2$ , $\vec{r}_2^{\,\prime}\cdot \vec{r}_2^{\,\prime}=\left \vert \vec{r}_2^{\,\prime}\right \vert^2$ , $\vec{r}_1^{\,\prime}\cdot \vec{\omega}=0$ perché $\vec{r}_1$ e $\vec{\omega}$ sono perpendicolari, e $\vec{r}_2^{\,\prime}\cdot \vec{\omega}=0$ perché $\vec{r}_2$ e $\vec{\omega}$ sono perpendicolari. Sfruttando quanto detto, la precedente equazione diventa

(43) $\begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\left \vert \vec{r}_1^{\,\prime}\right \vert^2\vec{\omega}+m_2\left \vert \vec{r}_2^{\,\prime}\right \vert^2\vec{\omega}. \end{equation*}$

Sostituendo $\left \vert\vec{r}^{\,\prime}_1\right \vert =\ell/3$ e $\left \vert\vec{r}^{\,\prime}_2\right \vert =2\ell/3$ nella precedente equazione, otteniamo

(44) $\begin{equation*} \vec{L}_t= \dfrac{m_1\ell^2}{9}\vec{\omega} +\dfrac{4m_2\ell^2}{9}\vec{\omega}. \end{equation*}$

Infine, ricordando che $m_2=m_1/2$ , la precedente equazione diventa

(45) $\begin{equation*} \vec{L}_t= \dfrac{m_1\ell^2}{9}\vec{\omega}+\dfrac{4m_1\ell^2}{18} \vec{\omega}, \end{equation*}$

in altri termini

(46) $\begin{equation*} \vec{L}_t= \dfrac{m_1\ell^2}{9} \vec{\omega}+\dfrac{2m_1\ell^2}{9}\vec{\omega}=\dfrac{1}{3}m_1\ell^2\vec{\omega}, \end{equation*}$

conseguentemente per la conservazione del momento angolare, usando le equazioni (30) e (46), segue che

(47) $\begin{equation*} \vec{L}_i=\vec{L}_t\quad \Leftrightarrow \quad -m_1\ell v_2\,\hat{z}=\dfrac{1}{3}m_1\ell^2\vec{\omega}, \end{equation*}$

da cui

(48) $\begin{equation*} \vec{\omega}=-\dfrac{3v_2}{\ell}\,\hat{z}, \end{equation*}$

oppure, ricordando che $v_2=v_1/2$ , si trova

(49) $\begin{equation*} \vec{\omega}=-\dfrac{3v_1}{2\ell}\,\hat{z}. \end{equation*}$

Sfruttando l’equazione (49) è possibile determinare il modulo di $\omega$ , cioè

(50) $\begin{equation*} \left \vert \vec{\omega}\right \vert = \omega=\dfrac{3v_1}{2\ell}. \end{equation*}$

Un osservatore solidale con il centro di massa vede i due punti materiali muoversi di moto circolare uniforme con velocità angolare $\vec{\omega}$ costante in modulo, direzione e verso. Quindi entrambi i punti materiali nel sistema del centro di massa sono descritti dalla seguente legge oraria

(51) $\begin{equation*} \theta(t)=\omega t=\dfrac{3v_1}{2\ell}t, \end{equation*}$

avendo assunto che l’angolo iniziale dell’asta sia nullo rispetto all’asse delle $x^\prime$ . Nell’istante $\tau$ , tale che $3v_1\tau/(2\ell)=\pi$ , l’angolo formato dall’asta con l’asse delle $x^\prime$ è pari ad

(52) $\begin{equation*} \theta(\tau)=\dfrac{3v_1}{2\ell}\tau=\pi, \end{equation*}$

ossia essa risulta ruotata di un angolo piatto. Di seguito, in figura 7, rappresentiamo l’asta ruotata di un angolo piatto rispetto alla posizione iniziale alla quota $y_{\text{CM}}(\tau)$ .

In riferimento alla figura 7, per prima cosa, osserviamo che l’ordinata $y_1(\tau)$ di $m_1$ , l’ordinata $y_2(\tau)$ di $m_2$ e l’ordinata $y_{\text{CM}} (\tau)$ del centro di massa sono coincidenti, cioè vale

(53) $\begin{equation*} y_1(\tau)=y_2(\tau)=v_2\,\dfrac{2\ell\pi}{3v_1}=\dfrac{\pi\ell}{3}, \end{equation*}$

dove abbiamo sostituito $\tau=\dfrac{2\ell\pi}{3v_1}$ nell’equazione (22) $_2$ . Infine, ricordando che lungo l’asse delle $x$ la posizione del centro di massa è sempre la stessa, mentre l’ascissa $x_1(\tau)$ di $m_1$ e l’ascissa $x_2(\tau)$ di $m_2$ sono rispettivamente

(54) $\begin{equation*} x_1(\tau)=x_{\text{CM}}+\dfrac{\ell}{3}=\dfrac{\ell}{3}+\dfrac{\ell}{3}=\dfrac{2\ell}{3} \end{equation*}$

(55) $\begin{equation*} x_2(\tau)=-\dfrac{2}{3}\ell+x_{\text{CM}}=-\dfrac{2}{3}\ell+\dfrac{\ell}{3}=-\dfrac{\ell}{3}. \end{equation*}$

Quindi, riassumendo, all’istante $\tau$ le posizioni dei punti materiali $m_1$ e $m_2$ sono

$\boxcolorato{fisica}{\begin{aligned} &x_1(\tau)=\dfrac{2}{3}\ell,\,y_1(\tau)=\dfrac{\pi\ell}{3};\\[10pt] &x_2(\tau)=-\dfrac{1}{3}\ell,\,y_2(\tau)=\dfrac{\pi\ell}{3}. \end{aligned}}$

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The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

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Esercizio sistemi di punti materiali 12

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