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Esercizio sistemi di punti materiali 11

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

Home » Esercizio sistemi di punti materiali 11

Esercizio sui sistemi di punti materiali 11 rappresenta l’undicesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 10, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 12.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 11

Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un carrello di massa M può muoversi senza attrito su di un piano orizzontale. Una persona di massa m si trova sul carrello; inizialmente il sistema è in quiete. La persona si mette a camminare sul carrello, con un’accelerazione \vec{a}_r rispetto al carrello. L’accelerazione \vec{a}_r ha direzione, verso e modulo costante, ed è parallela al piano orizzontale, come nella figura di seguito. Si determinino le accelerazioni del carrello e della persona rispetto ad un sistema di riferimento solidale al suolo.

 

 

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Svolgimento.

Scegliamo due sistemi di riferimento; un sistema di riferimento Oxy, solidale con il suolo ed inerziale, e un sistema di riferimento O'x'y', solidale con il carrello di massa M, quindi non inerziale, e scelti tali per cui y \;\vert\vert\; y' e x\equiv x', come si può vedere dalla figura 1. Si noti che il sistema di riferimento O'x'y' risulta non inerziale perché la massa M, con cui il sistema è solidale, è soggetta alla forza di attrito statico \vec f_s, diretta nel verso positivo delle x; pertanto, dalla seconda legge della dinamica si deduce immediatamente che il blocco di massa M si muoverà con un’accelerazione pari ad \vec A, e quindi il sistema di riferimento O'x'y' è non inerziale.

Nel sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione assoluta \vec a della persona è pari a

(1)   \begin{equation*} \vec a = \vec A + \vec a_r, \end{equation*}

dove \vec A è l’accelerazione del carrello rispetto al sistema inerziale e \vec a_r è l’accelerazione relativa della persona nel sistema di riferimento solidale con il carrello, e che, data la scelta dei sistemi di riferimento, è diretta nel verso negativo dell’asse delle x'.

 

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Scegliamo come sistema fisico il sistema composto dalle due masse m ed M. Osserviamo che, nella direzione dell’asse delle y, le forze esterne al sistema sono la reazione vincolare \vec{R} generata dal contatto tra carrello e piano orizzontale, le forze peso m\vec{g} ed M\vec{g}. Tra carrello e piano non è presente attrito, quindi non serve determinare la reazione vincolare \vec{R}; di conseguenza possiamo trascurare m\vec{g}, M\vec{g} e \vec{R}, nei calcoli successivi. Nella direzione dell’asse delle x sono presenti le forze di azione e reazione di attrito statico tra la persona ed il carrello. Sulla persona è agente la forza di attrito statico \vec{f}_s, mentre per il terzo principio della dinamica, su M è agente -\vec{f}_s. Le forze \vec{f}_s e -\vec{f}_s sono forze interne, di conseguenza, non essendo presenti forze esterne nella direzione orizzontale, la quantità di moto totale lungo l’asse delle x si conserva. La quantità di moto iniziale è

(2)   \begin{equation*} \vec p_{x,i}=\vec{0}=0\,\hat{x}, \end{equation*}

dato che è tutto in quiete. La quantità di moto nel generico istante t>0 è

(3)   \begin{equation*} \vec{p}_{x,f}=mv\,\hat{x}+MV\,\hat{x}, \end{equation*}

dove v, V e \hat{x}, sono rispettivamente la componente della velocità di m nella direzione dell’asse delle x, la componente della velocità di M nella direzione dell’asse delle x, e il versore dell’asse delle x. Dalla conservazione della quantità di moto, si ha

(4)   \begin{equation*} mv+MV=0. \end{equation*}

Deriviamo rispetto al tempo, ambo i membri della precedente equazione, per ottenere le corrispettive accelerazioni nel sistema di riferimento inerziale, ottenendo

(5)   \begin{equation*} m\;a+MA=0 \quad\Leftrightarrow\quad A=-\dfrac{m}{M} a, \end{equation*}

dove a e A sono rispettivamente le componenti di m nella direzione dell’asse delle x e di M nella direzione dell’asse delle x. Si osservi che, nel precedente calcolo, abbiamo usato i seguenti fatti

(6)   \begin{equation*} \dfrac{dv}{dt}=a \end{equation*}

e

(7)   \begin{equation*} \dfrac{dV}{dt}=A. \end{equation*}

Dall’equazione (5) si deduce che le componenti A ed a hanno segno opposto, da cui, deduciamo che le accelerazioni \vec{a} ed \vec{A} hanno stessa direzione, ma verso opposto. Sia \hat{x}^{\,\prime} il versore dell’asse delle x^\prime. Siccome gli assi x e x^\prime sono coincidenti, si ha \hat{x}\equiv \hat{x}^{\,\prime}. Notiamo che

(8)   \begin{equation*} \vec{a}_r=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}^{\prime}=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}, \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} \vec{A}=A\,\hat{x}, \end{equation*}

e

(10)   \begin{equation*} \vec{a}=a\,\hat{x}; \end{equation*}

l’equazione (1) può essere riscritta come

(11)   \begin{equation*} \vec{a}=a\,\hat{x}=A\,\hat{x}-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}, \end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} \begin{cases} a=A-\left \vert \vec{a}_r\right \vert\\[10pt] A=-\dfrac{m}{M}a. \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema, si ottiene

(13)   \begin{equation*} a+\dfrac{m}{M}a=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert, \end{equation*}

ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{a=-\dfrac{M\left \vert \vec{a}_r\right \vert}{m+M}.}\]

Sostituendo a (calcolata nella precedente equazione nella (12)_2), si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{ A=\dfrac{m\left \vert\vec{a}_r\right \vert }{m+M}.}\]

Abbiamo così ricavato le accelerazioni del carrello e della persona nel sistema di riferimento inerziale solidale con il suolo.

Si osservi che, le due accelerazioni risultano coerentemente di verso opposto, in quanto \left \vert\vec{a}_r\right \vert>0 (perché è il modulo dell’accelerazione \vec{a}_r) e in quanto le costanti legate alle due masse sono anch’esse positive per definizione. In particolare, l’accelerazione \vec{a} della persona è diretta nel verso positivo e l’accelerazione \vec{A} del carrello è diretta nel verso negativo dell’asse delle x.

 

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