Esercizi sulla gravitazione

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Benvenuti nel nostro articolo di esercizi sulla gravitazione. Questa importantissima parte della meccanica classica tratta delle interazioni tra i corpi dovute alla loro massa e ai moti che ne conseguono. In questa pagina proponiamo 15 esercizi su questo fondamentale tema della Fisica.
Gli esercizi, di varia difficoltà e natura, sono corredati di soluzione completa e illustrati, così da consentire al lettore un confronto tra le sue soluzioni e quelle da noi proposte, per un’apprendimento dinamico ed efficace!

Oltre all’articolo di Teoria sula gravitazione, consigliamo le seguenti risorse su materiale affine:

Buona lettura!

Sommario

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Questo file raccoglie una serie di esercizi dedicati alla gravitazione, pensati per esplorare e consolidare la comprensione delle leggi fondamentali che governano l’interazione gravitazionale tra i corpi.

L’introduzione illustra brevemente i concetti chiave della gravitazione, partendo dalla legge di gravitazione universale di Newton, che descrive come ogni punto materiale eserciti una forza attrattiva su ogni altro punto materiale, proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro. Viene inoltre discussa l’importanza della gravitazione nell’ambito dei sistemi astronomici, come le orbite planetarie, le dinamiche dei sistemi binari di stelle e la struttura dei sistemi solari.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Christian Magliano, Anna D’Addio.

Revisori: Nicola Fusco, Federico Manzoni, Davide Germani.

Notazioni

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$G$	Costante gravitazionale universale, pari a $6,67430 \times 10^{-11} \, \mathrm{m^3 \, kg^{-1} \, s^{-2}}$ ;
$M_\odot$	Massa del Sole, pari a $1,989 \times 10^{30} \, \mathrm{kg}$ ;
$M_{\oplus}$	Massa della Terra, pari a $\text{5,972} \times 10^{24} \, \mathrm{kg}$ ;
$R_\oplus$	Raggio della Terra, pari a $6,378\cdot 10^6\,\textnormal{m}$ ;
$\textnormal{AU}$	Unità astronomica, rappresenta la distanza media tra la Terra e il Sole ed il suo valore è pari a $149597870700\,\textnormal{m}$ ;
$g$	Accelerazione di gravità sulla superficie della Terra, approssimativamente $9,81 \, \mathrm{m/s^2}$ ;
$T$	Periodo di rivoluzione di un’orbita circolare;
$a$	Semi-asse maggiore di un’orbita ellittica;
$\varepsilon$	Eccentricità di un’orbita ellittica;
$\mu$	Massa ridotta, definita come $\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ ;

Introduzione

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La gravità è una delle quattro interazioni fondamentali del nostro Universo assieme a quella elettromagnetica, debole e forte. Nonostante in senso assoluto la gravità sia la più debole delle interazioni fondamentali, gioca un ruolo di primo piano in tutti i processi astrofisici in cui le masse, o le densità, degli oggetti sotto studio sono tali da renderla tutt’altro che trascurabile. Infatti, su tutte le scale di studio dell’astrofisica, dallo studio dei pianeti ai sistemi di ammassi di galassie, la dinamica è completamente dovuta all’interazione gravitazionale.

Richiami di teoria

Le forze centrali.

Sia $Oxy$ un sistema di riferimento fisso con origine in $O$ , e $P$ un punto generico del piano $xy$ , come rappresentato in figura 1.

$\quad$

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Figura 1: rappresentazione di un punto generico $P$ nel piano $xy$ .

$\quad$

Si definisce forza centrale [3] una forza che soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

in ogni punto $P$ del piano $xy$ tale forza ha direzione passante per un punto fisso $O$ , chiamato centro di forza;

il suo modulo dipende unicamente dalla distanza $r=\left|\overrightarrow{OP}\right|$ dal centro stesso.

Una qualsiasi forza avente le proprietà elencate si può dunque scrivere come $\vec{F}(r)=f(r)\,\hat{r}$ , dove $\hat{r}$ è il versore che indica la direzione radiale e dove il modulo di $\vec{F}(r)$ dipende dalla distanza $r$ mediante la funzione $f(r)$ , con $f(r)>0$ ( $f(r)<0$ ) se la forza è repulsiva (attrattiva).

Ricordiamo che un punto materiale sotto l’influenza di un campo di forze centrali

$\quad$

ha un momento angolare costante;

ha una traiettoria che giace in un piano fisso ortogonale al momento angolare individuato dalle condizioni iniziali $\vec{r}(t_0)$ e $\vec{v}(t_0)$ ;

si muove con una velocità areolare costante.

Le tre leggi di Keplero.

Ricapitoliamo in questa sezione le tre leggi di Keplero che descrivono con ottima approssimazione il moto dei pianeti del sistema solare.

$\quad$

Prima legge di Keplero: l’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.

Seconda legge di Keplero: il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. In altri termini, la velocità areolare di tale raggio vettore è costante.

Terza legge di Keplero: il quadrato del periodo di rivoluzione¹di un pianeta $T$ è proporzionale al cubo del semiasse maggiore $a$ dell’orbita, ovvero
(1) $\begin{equation*} T^2=k\,a^3. \end{equation*}$

Come vedremo nella sezione 1.8, le leggi di Keplero in realtà valgono per qualunque corpo in orbita attorno ad un altro.

Il periodo di rivoluzione è il tempo che un corpo orbitante impiega per compiere un’orbita completa durante il suo moto di rivoluzione. Il moto di rivoluzione è il movimento che un pianeta o un altro corpo celeste compie attorno a un centro di massa. ↩

La legge di gravitazione universale.

Newton cercò di formalizzare matematicamente le leggi di Keplero e formulò la legge di gravitazione universale: tra due corpi aventi masse qualsiasi $m_1$ e $m_2$ di dimensioni trascurabili rispetto alla loro distanza agisce una forza attrattiva diretta lungo la congiungente dei rispettivi centri di massa, con modulo proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanze. La forza che $m_1$ esercita su $m_2$ sarà dunque

(2) $\begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ \vec{F}_{1,2} = -G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}} \end{equation*}$

dove il segno meno indica il carattere attrattivo della forza, $r$ la distanza tra i due corpi e $\hat{r}$ è il versore nella direzione della congiungente tra il corpo $m_1$ e il corpo $m_2$ il cui verso è dal corpo $m_1$ al corpo $m_2$ .

Per quanto detto, $\vec{F}_{1,2}=-\vec{F}_{2,1}$ .

$\quad$

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Figura 2: forza attrattiva tra due corpi aventi masse $m_{1}$ e $m_{2}$ .

$\quad$

La costante $G$ è detta costante di gravitazione universale. Essa ha dimensioni $[G]\coloneqq [M^{-1}\,L^3\,T^{-2}]$ e l’unità di misura nel SI è $\textnormal{m}^3\,\textnormal{kg}^{-1}\,\textnormal{s}^{-2}$ Essa fu misurata sperimentalmente da Cavendish (Nizza, 1731 – Londra, 1810) nel $1798$ , che si servì di una bilancia di torsione² per studiare l’attrazione tra due masse sferiche:

(3) $\begin{equation*} G=6\text{,}67\cdot 10^{-11}\,\textnormal{m}^3\,\textnormal{kg}^{-1}\,\textnormal{s}^{-2}. \end{equation*}$

Determinato il valore di $G$ è possibile determinare il valore della massa terrestre e degli altri corpi celesti.

La bilancia di torsione è uno strumento di misura della fisica sperimentale utilizzato per misurare il momento torcente risultante dall’applicazione di una o più forze ai suoi bracci. I bracci sono sospesi tramite un filo di materiale rigido, ad esempio quarzo, che entra in torsione quando essi ruotano sotto l’azione delle forze esterne. L’angolo per il quale si raggiunge l’equilibrio tra il momento torcente da misurare e la reazione del filo sottoposto a torsione si può determinare con grande precisione. Tale angolo permette di risalire al valore del momento da misurare, essendo ad esso proporzionale secondo una costante dipendente dalle proprietà del filo. ↩

Campo gravitazionale.

Consideriamo due corpi di massa $m_1$ e $m_2$ e riscriviamo le forze con cui si attraggono come

(4) $\begin{equation*} \vec{F}_{1,2}=m_2\left(-G\dfrac{m_1}{r^2}\,\hat{r}\right)=m_2\vec{g}_1, \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \vec{F}_{2,1}=-m_1\left(-G\dfrac{m_2}{r^2}\,\hat{r}\right)=-m_1\vec{g}_2. \end{equation*}$

Dunque $\vec{F}_{1,2}$ è riscrivibile come il prodotto tra $m_2$ e un vettore $\vec{g}_1=-G\,\dfrac{m_1}{r^2}\,\hat{r}$ completamente indipendente dalla massa $m_2$ ; analogamente per $\vec{F}_{2,1}$ definiamo $\vec{g}_2=-G\,\dfrac{m_2}{r^2}\,\hat{r}$ completamente indipendente dalla massa $m_1$ .

$\quad$

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Figura 3: rappresentazione dei campi gravitazionali $\vec{g}_{1}$ e $\vec{g}_{2}$ .

$\quad$

La grandezza vettoriale $\vec{g}$ , che si può definire per un generico corpo avente massa $m_i$ , è detta campo gravitazionale $\vec{g}_i$ . Per il principio di sovrapposizione degli effetti, date $N$ masse puntiformi, il campo gravitazionale totale $\vec{g}_T$ in un punto $P$ dello spazio è dato dalla somma vettoriale dei singoli contributi, cioè

(6) $\begin{equation*} \vec{g}_T= \vec{g}_1+\dots+\vec{g}_N=\sum_{i=1}^N\vec{g}_i=\sum_{i=1}^N\left(-G\dfrac{m_i}{r_i^2}\,\hat{r}_i\right). \end{equation*}$

Nella figura 4 è rappresentata la situazione fisica descritta.

$\quad$

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Figura 4: rappresentazione del campo gravitazionale totale in un punto $P$ .

Energia potenziale gravitazionale.

La forza gravitazionale è una forza centrale, e quindi è conservativa. Pertanto, è possibile definire l’energia potenziale gravitazionale, a meno di una costante arbitraria, come

(7) $\begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{U(r)=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r}+\text{costante}.} \end{equation*}$

Se i corpi $m_1$ e $m_2$ sono molto lontani tra di loro, essendo la loro distanza $r$ molto grande, è lecito supporre che la forza di attrazione gravitazionale sia molto debole, ovvero che sia quasi nulla. Di conseguenza, non essendoci attrazione tra i corpi, per convenzione si suppone $U(r=\infty)=0$ , che è analogo a fissare la costante a zero. Definire $U(r)$ come $U(r)=-G\,m_1\,m_2/r$ equivale a definire l’energia potenziale come la differenza di energia tra i corpi quando si trovano fermi all’infinito e alla generica distanza $r$ .

Un’altra fondamentale conseguenza della natura conservativa della forza gravitazionale è la conservazione dell’energia totale del sistema a due corpi composto da $m_1$ e $m_2$ . In ogni istante, l’energia totale del sistema è

(8) $\begin{equation*} E_T=K_T+U_T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2\,v_2^2-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r}, \end{equation*}$

dove $v_1$ e $v_2$ sono rispettivamente i moduli della velocità di $m_1$ e $m_2$ , in un generico istante $t>0$ . Una semplice ed interessante applicazione dell’equazione (8) è data dal calcolo della velocità di fuga.

Si definisce velocità di fuga di un punto materiale di massa $m$ , la velocità iniziale che esso deve possedere affinché, lanciato dalla superficie di un generico corpo celeste³, riesca a sfuggire al suo campo gravitazionale. In altri termini, la velocità di fuga è quella velocità che deve avere un corpo sulla superficie di un corpo celeste, affinché riesca ad arrivare a distanza infinita da esso con velocità nulla. Per calcolare la velocità di fuga immaginiamo di lanciare un oggetto di massa $m$ da un corpo celeste di massa $M$ e raggio $R$ . Applichiamo la legge di conservazione dell’energia. In particolare, all’istante iniziale l’oggetto parte dalla superficie di $M$ con velocità $v_{\text{fuga}}$ , e all’istante finale raggiunge una distanza infinita con velocità nulla. Dunque

(9) $\begin{equation*} K_i+U_i=K_f+U_f \quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,m\,v_{\text{fuga}}^2-G\,\dfrac{m\,M}{R}=0. \end{equation*}$

La velocità di fuga di un generico corpo è

$\boxcolorato{fisica}{v_{\text{fuga}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}.}$

Sulla Terra ( $M_\oplus=\text{5,972}\cdot 10^{24}\,\textnormal{ kg},\, R_\oplus=6\text{,}378\cdot 10^{6}\,\textnormal{m}$ ) la velocità di fuga è $v_{\text{fuga}} \approx 11\text{,}2\,\textnormal{km}/\textnormal{s}$

Punti di equilibrio

Si ricordi che quando una forza è conservativa allora essa è esprimibile come meno il gradiente dell’energia potenziale, ossia

(10) $\begin{equation*} \vec{F}(\vec{r})=-\vec{\nabla} U(\vec{r})\coloneqq -\left(\dfrac{\partial U(\vec{r})}{\partial x},\dfrac{\partial U(\vec{r})}{\partial y},\dfrac{\partial U(\vec{r})}{\partial z}\right). \end{equation*}$

Si definisce posizione di equilibrio un punto $\vec{r}_\text{eq}=(x_\text{eq},y_\text{eq},z_\text{ eq})$ dello spazio rispetto ad un opportuno sistema di riferimento cartesiano $Oxy$ tale per cui

(11) $\begin{equation*} \vec{F}(\vec{r}_\text{eq})=0\quad\Leftrightarrow\quad -\vec{\nabla}U(\vec{r}_\text{eq})=0. \end{equation*}$

Pertanto una posizione di equilibrio è quel punto dello spazio in cui la forza in esame si annulla o, equivalentemente, il gradiente dell’energia potenziale è zero.

Nel caso di un problema unidimensionale, come ci troveremo ad affrontare nell’esercizio 6, la coordinata $x_\text{eq}$ rappresenta una posizione di equilibrio se

(12) $\begin{equation*} \dfrac{dU(x)}{dx}\Bigg|_{x=x_\text{eq}}=0. \end{equation*}$

In generale ricordiamo che esistono principalmente tre tipi di equilibrio:

$\quad$

Equilibrio stabile: In questa condizione, una piccola perturbazione della posizione della particella induce una forza che tende a riportarla alla posizione di equilibrio.
In questo caso il punto di equilibrio corrisponde a un minimo locale del potenziale.

Equilibrio instabile: Una piccola perturbazione della particella in una posizione di equilibrio instabile la porta ad allontanarsi ulteriormente da quella posizione.
In questo scenario il punto di equilibrio corrisponde a un massimo locale o di sella del potenziale.

Equilibrio indifferente o neutrale: In questo caso, una piccola perturbazione non produce alcuna forza netta che riporti o allontani la particella dalla sua posizione.
In tal caso, il potenziale è costante localmente (piatto) attorno alla posizione di equilibrio.

Un corpo celeste è una struttura nell’universo tenuta insieme da forze coesive come quella gravitazionale. Ad esempio le comete, le stelle o i pianeti sono corpi celesti. ↩

Teorema di Gauss.

Consideriamo un certo numero di masse $m_1,\,\dots\,,m_N$ all’interno di una superficie chiusa $\Sigma$ come rappresentato in figura 5.

$\quad$

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Figura 5: sistema di $n$ masse all’interno di una superficie chiusa $\Sigma$ .

$\quad$

In Fisica, il concetto di flusso di un campo vettoriale rispetto ad una data superficie si riferisce alla quantità di linee di forza di tale campo che passa attraverso la detta superficie.

Nel caso della gravità, possiamo immaginare il campo gravitazionale come un insieme di linee che escono da una massa e si estendono nello spazio. Se posizioniamo una superficie immaginaria in questo campo, il flusso descrive quanto “campo gravitazionale” attraversa quella data superficie. Precisamente, data una superficie $\Sigma \subset \mathbb{R}^3$ orientata da un versore normale $N \colon \Sigma \to \mathbb{R}^3$ e un campo vettoriale $F \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , il flusso del campo attraverso $\Sigma$ è definito come

$\Phi_\sigma(F) \coloneqq \int_\Sigma F(x) \cdot N(x) \,\mathrm{d}\sigma(x),$

dove $\sigma$ è la misura di superficie associata a $\Sigma$ .

Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa $\Sigma$ è proporzionale alla somma delle masse in essa contenuta:

$\quad$

Teorema 1 (teorema di Gauss). Date $N$ masse dentro una superficie chiusa $\Sigma$ , il flusso totale del campo gravitazionale da esse prodotto attraverso tale superficie è proporzionale alla somma delle masse in essa contenuta, cioè

(13) $\begin{equation*} \Phi_{\Sigma}(\vec{g})=-4\pi\,G\sum_{k=1}^N\,m_k. \end{equation*}$

$\quad$

Come prime applicazioni del teorema di Gauss possiamo calcolare il campo gravitazionale generato da una distibuzione superficiale di massa distibuita su di una sfera o il campo gravitazionale generato da una distibuzione volumetrica di massa distibuita nella regione di spazio racchiusa da una sfera, ossia distibuita dentro una palla.

Consideriamo una massa $m$ distribuita in modo uniforme su una superficie sferica di raggio $R$ con densità costante $\sigma=\dfrac{m}{S}$ . Osservando la figura 6 si deduce che il campo gravitazionale nel punto $P$ è radiale: esso è dovuto alla somma di contributi infinitesimi simmetrici provenienti da elementi di massa infinitesimi simmetrici, eguali in modulo, che danno risultante radiale; se così non fosse, $\sigma$ non sarebbe costante.

$\quad$

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Figura 6: campo in un punto $P$ generato da una distribuzione uniforme di carica su una superficie sferica di raggio $R$ .

$\quad$

In qualsiasi altro punto avente la stessa distanza di $P$ dal centro della superficie sferica, la situazione è la stessa: il campo $\vec{g}$ è radiale e il suo modulo dipende solo dalla distanza dal centro $r$ , ossia

(14) $\begin{equation*} \vec{g}(r)=-g(r)\,\hat{r}. \end{equation*}$

Per calcolare $\vec{g}(r)$ utilizziamo il teorema di Gauss scegliendo come superficie di integrazione una superficie sferica ${\Sigma}$ concentrica a $m$ e di raggio $r\geq R$ . Sui punti di tale superficie il campo avrà lo stesso valore. Da una parte, poiché il versore normale usente $\hat{n}$ coicide col versore radiale $\hat{r}$ e quindi $\hat{r} \cdot \hat{n}=1$ si ha

(15) $\begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=\iint_{{\Sigma}}\vec{g}\cdot\hat{n}\,d{\Sigma}=-g(r)\iint_{{\Sigma}}d{\Sigma}=-4\pi\,r^2\,g(r), \end{equation*}$

e dall’altra, sfruttato il teorema di Gauss, abbiamo

(16) $\begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=-4\pi\,G\,m. \end{equation*}$

Eguagliando le equazioni (15) e (16) si ottiene il modulo del campo gravitazionale cercato, ossia

(17) $\begin{equation*} \vec{g}(r)=-G\,\dfrac{m}{r^2}\hat{r}, \end{equation*}$

che coincide con il campo gravitazionale generato da una massa puntiforme $m$ posta nel centro della superficie sferica $S$ . Il risultato vale per $r\geq R$ ; all’interno della superficie sferica, ossia per $r<R$ , qualsiasi superficie gaussiana scelta per la valutazione del flusso, non contiene massa e dunque il flusso attraverso di essa è nullo: deve quindi essere $\vec{g}=0$ ovunque. Il grafico del modulo del campo gravitazionale di una massa distribuita uniformemente su una superficie sferica di raggio $R$ è rappresentato in figura 7. Si osservi che il campo è discontinuo per $r=R$ , cioè nell’attraversare la massa.

$\quad$

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Figura 7: grafico del campo gravitazionale $g(r)$ di una massa distribuita uniformemente su una superficie sferica di raggio $R$ .

$\quad$

Analizziamo ora il caso in cui $m$ è distribuita con densità volumetrica costante $\rho=\dfrac{m}{V}$ in tutto il volume $V$ di una sfera di raggio $R$ . Grazie al teorema di Gauss possiamo concludere che il risultato all esterno della sfera, ossia per $r \geq R$ , è lo stesso del caso precedente

(18) $\begin{equation*} \vec{g}(r)=-G\dfrac{m}{r^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\text{per}\,r>R. \end{equation*}$

Studiamo il caso $r<R$ ; all’interno di una superficie sferica ${\Sigma}$ di raggio $r<R$ , ci sarà una massa $m'<m$ .

$\quad$

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Figura 8: superficie di integrazione ${\Sigma}$ di raggio $r<R$ .

$\quad$

Dato che la massa è distribuita in modo omogeneo, ossia la densità volumetrica di massa è costante, si ha

(19) $\begin{equation*} \dfrac{m'}{\dfrac{4}{3}\pi r^3}=\dfrac{m}{\dfrac{4}{3}\pi R^3} \quad \Rightarrow \quad m'=\dfrac{r^3}{R^3}\,m. \end{equation*}$

Sui punti di $\Sigma$ il campo avrà lo stesso valore. Da una parte, poiché il versore normale usente $\hat{n}$ coicide col versore radiale $\hat{r}$ e quindi $\hat{r} \cdot \hat{n}=1$ si ha

(20) $\begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=\iint_{{\Sigma}}\vec{g}\cdot\hat{n}\,d{\Sigma}=-g(r)\iint_{{\Sigma}}d{\Sigma}=-4\pi\,r^2\,g(r) \end{equation*}$

e dall’altra, sfruttato il teorema di Gauss per il caso $0<r<R$ in cui quindi la massa racchiusa dalla superficie gaussiana $\Sigma$ è $m'$ , abbiamo

(21) $\begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=-4\pi\,G\,m'. \end{equation*}$

Eguagliando le equazioni (20) e (21) si ha

(22) $\begin{equation*} -4\pi\,r^2\,g(r)=-4\pi\,G\,m', \end{equation*}$

da cui, sfruttando la (19), si ottiene

(23) $\begin{equation*} 4\pi\,r^2\,g(r)=4\pi\,G\left(\dfrac{r^3}{R^3}\,m\right), \end{equation*}$

conseguentemente

(24) $\begin{equation*} g(r)=\dfrac{G\,r}{R^3}\,m \qquad \text{per}\,\,\,0<r<R. \end{equation*}$

Dunque, il campo all’interno di una sfera omogenea cresce linearmente con la distanza dal raggio: il grafico di $g(r)$ è mostrato in figura 9.

$\quad$

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Figura 9: grafico del campo gravitazionale $g(r)$ generato da una distribuzione sferica omogenea di massa.

$\quad$

La relazione (24) è una dimostrazione di come una massa estesa possa generare un campo che non ha l’andamento $1/r^2$ come quello generato da una massa puntiforme.

Energia di un sistema di pianeti e satelliti.

Si consideri un sistema di $N$ pianeti che interagiscono tra loro mediante la forza gravitazionale. L’energia totale rappresenta il lavoro compiuto dalle forze esterne per portare i pianeti dall’infinito a tale configurazione, ed è data da

(25) $\begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{E_T=-G\,\left(\dfrac{m_1\,m_2}{r_{1,2}}+\dfrac{m_1\,m_3}{r_{1,3}}+\cdots+\dfrac{m_1\,m_n}{r_{1,N}}+\dfrac{m_2\,m_3}{r_{2,3}}+\cdots+\dfrac{m_2\,m_n}{r_{2,N}}, +\dots\right) } \end{equation*}$

dove $m_1,\ldots\, ,m_n$ sono le masse dei pianeti o satelliti, e $r_{i,j}$ le distanze tra i pianeti di massa $m_i$ e $m_j$ .

Per completezza ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per una sistema di punti materiali

$\begin{cases} \sum_{k=1}^n\vec{F}_{k}^{est}=\dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \sum_{k=1}^n\vec{M}_k^{est}-m\vec{v}_O\wedge\vec{v}_{CM}=\dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases}$

dove $\sum_{k=1}^n\vec{F}_{k}^{est}$ è la somma di tutte le forze esterne, $\vec{P}_t$ è la quantità di moto totale del sistema, $\sum_{k=1}^n\vec{M}_k^{est}$ è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, $\vec{v}_O$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa ed infine $\vec{L}_O$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo $O$ .

Problema dei due corpi.

Nel seguito, studieremo il moto di due corpi soggetti alla reciproca interazione gravitazionale. Assumeremo che i corpi abbiano dimensione trascurabile rispetto alla loro distanza, e che le loro masse siano $m_1$ e $m_2$ . Scelto un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ dal quale si osservano i due corpi, per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere quanto segue

(26) $\begin{equation*} \begin{cases} m_1\,\dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}\\[10pt] m_2\,\dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r},\\ \end{cases} \end{equation*}$

dove $\vec{r_1}$ e $\vec{r}_2$ sono rispettivamente la distanza di $m_1$ e $m_2$ da $O$ . Nella figura 10 rappresentiamo il sistema di riferimento scelto $Oxy$ e il centro di massa (CM) del sistema dei due corpi.

$\quad$

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Figura 10: rappresentazione di due corpi di massa $m_1$ ed $m_2$ ed il centro di massa in un sistema di riferimento $Oxy$ .

$\quad$

Applicando il metodo del parallelogramma, come rappresentato nella figura 11 si vede che $\vec{r}_2-\vec{r}_1=\vec{r}$ .

$\quad$

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Figura 11: applicazione della regola dal parallelogramma per calcolare $\vec{r}_2-\vec{r}_1$ .

$\quad$

Riscriviamo il sistema (26) come segue

(27) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=G\,\dfrac{m_1\,m_2}{m_1\,r^2}\,\hat{r}\\[10pt] \dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{m_2\,r^2}\,\hat{r}.\\ \end{cases} \end{equation*}$

Sottraendo membro a membro, i termini della seconda equazione e prima equazione del sistema (27) si ottiene

(28) $\begin{equation*} -\dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}+\dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=\left(-G\dfrac{m_1\,m_2}{m_2\,r^2}-G\dfrac{m_1\,m_2}{m_1\,r^2}\right)\,\hat{r}, \end{equation*}$

o anche

(29) $\begin{equation*} \dfrac{d^2(-\vec{r}_1+\vec{r}_2)}{dt^2}=-G\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\left(\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}\right)\hat{r}. \end{equation*}$

Definendo massa ridotta la quantità $\mu$ tale per cui valga

(30) $\begin{equation*} \dfrac{1}{\mu}=\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}, \end{equation*}$

e ricordando che $\vec{r}_2-\vec{r}_1=\vec{r}$ , è possibile riscrivere la precedente relazione nel modo che segue

(31) $\begin{equation*} \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{\mu\,r^2}\,\hat{r}, \end{equation*}$

oppure

(32) $\begin{equation*} \mu\,\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}. \end{equation*}$

Si osservi che abbiamo ricondotto il problema dei due corpi a quello di un solo corpo di massa $\mu$ in cui la massa ridotta è l’effettiva massa inerziale nel problema dei due corpi. In altri termini, dal punto di vista fisico-matematico, il problema (27) di due corpi $m_1$ e $m_2$ soggetti ad una mutua interazione (nel nostro caso specifico l’interazione gravitazionale ma tale risultato vale per qualunque forza) e il problema (32) di un corpo di massa $\mu$ soggetto alla medesima forza sono del tutto equivalenti⁴. Osserviamo dall’equazione (32) che la massa $\mu$ è soggetta ad una forza centrale del tipo $-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}$ , pertanto, si conserva il momento angolare del sistema rispetto al polo $O$ , da cui deduciamo che il moto della massa $\mu$ avviene in un piano fisso (moto planare).

Inoltre non sono presenti forze esterne nel sistema fisico composto delle due masse, pertanto il sistema è isolato. Segue che il centro di massa delle due masse si muove di moto rettilineo uniforme o rimane in quiete.

Senza perdita di generalità scegliamo un sistema di riferimento solidale con il centro di massa come rappresentato nella figura 12. Tale sistema di riferimento è in generale non inerziale, ma in questo caso il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o è in quiete, pertanto il sistema di riferimento è inerziale.

$\quad$

Esercizi sulla gravitazione

Figura 12: sistema di due corpi di massa $m_{1}$ e $m_{2}$ in un sistema di riferimento $Oxy$ in cui l’origine coincide con il centro di massa.

$\quad$

Sappiamo che

(33) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}\\[10pt] \dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r},\\ \end{cases} \end{equation*}$

in cui $\hat{r}$ è il versore nella direzione della congiungente i due corpi il cui verso è dal corpo $m_1$ al corpo $m_2$ . Nel sistema di riferimento adottato

(34) $\begin{equation*} \begin{cases} m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2=0\\ \vec{r}_2-\vec{r}_1=\vec{r}. \end{cases} \end{equation*}$

Risolvendo rispetto a $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ , si ottiene

(35) $\begin{equation*} \begin{cases} \vec{r}_1=-\dfrac{m_2\,\vec{r}}{m_1+m_2}\\[10pt] \vec{r}_2=\dfrac{m_1\,\vec{r}}{m_1+m_2}.\\ \end{cases} \end{equation*}$

Osserviamo che $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ dipendono da $\vec{r}$ , pertanto deduciamo che anche $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ descrivono un’orbita planare. In particolare abbiamo dimostrato in [4] che il moto di un corpo soggetto ad un campo gravitazionale è descritto da una conica nel piano. Pertanto scelto un sistema di riferimento solidale con il centro di massa si vede che i corpi $m_1$ e $m_2$ descrivono un’orbita conica.

Si definisce sezione conica il luogo dei punti tali che il rapporto tra la distanza da una retta $s$ , detta direttrice, e la distanza da un punto $F$ esterno alla retta, detto fuoco, è costante ed è pari ad un valore costante $\varepsilon>0$ , detto eccentricità. Tale definizione, applicata ad un generico punto $P$ del piano, si traduce nella relazione (si veda la figura 13):

(36) $\begin{equation*} \varepsilon=\dfrac{\overline{PF}}{\overline{PH}}=\dfrac{r}{d-r\,\cos\,\theta}. \end{equation*}$

$\quad$

Esercizi sulla gravitazione

Figura 13: schematizzazione della parabola come particolare sezione conica.

$\quad$

L’energia totale del sistema composto dalle due masse è

(37) $\begin{equation*} E_T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2+\dfrac{1}{2}\,m_2\,v_2^2-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r}, \end{equation*}$

dove $v_1$ e $v_2$ sono i moduli delle velocità rispetto al sistema di riferimento inerziale.

Si dimostra in [4] che l’energia totale del sistema può essere scritta come

(38) $\begin{equation*} E_T=\dfrac{G\,m_1m_2}{2\varepsilon d}\left(\varepsilon^2-1\right), \end{equation*}$

dove $\varepsilon$ rappresenta l’eccentricità dell’orbita.

È possibile dunque ricavare l’energia totale, che è costante perché la forza agente su $\mu$ è conservativa, dai parametri dell’orbita $\varepsilon$ e $d$ . Concludiamo che

$\quad$

$\varepsilon>1 \quad \Rightarrow \quad E_T>0$ e l’orbita è iperbolica;

$\varepsilon=1 \quad \Rightarrow \quad E_T=0$ e l’orbita è parabolica;

$0<\varepsilon<1 \quad \Rightarrow \quad E_T<0$ e l’orbita è ellittica.

$\quad$

Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che i pianeti si muovono di moto ellittico, pertanto sappiamo che l’energia del sistema pianeta-Sole sarà negativa. Sistemi come quello composto dal pianeta e dal Sole, si dicono sistemi legati. L’orbita di un satellite intorno ad un pianeta è ellittica, pertanto man mano che si muove lungo la sua traiettoria la sua distanza dal pianeta varia. Ciascuna orbita è caratterizzata da due punti che realizzano la massima e la minima distanza tra il satellite e il pianeta; tali punti vengono detti, rispettivamente, apogeo e perigeo:

$\quad$

apogeo deriva dal greco apògeios, composto dalle parole apò (lontano) e geo (Terra), e corrisponde al punto più lontano dal pianeta;

perigeo deriva dal greco perìgeios, composto dalle parole perì (vicino) e geo (Terra), e corrisponde al punto più vicino dal pianeta.

$\quad$

Esercizi sulla gravitazione

Figura 14: apogeo e perigeo dell’orbita di un satellite in orbita attorno ad un pianeta.

$\quad$

Quando si considera un corpo celeste intorno al Sole, la massima distanza da esso è detta afelio mentre la minima distanza prende il nome di perielio.

Si dimostra che nel caso di orbite circolari o ellittiche il periodo di rivoluzione $T$ dei due corpi è legato al semiasse maggiore $a$ attraverso la relazione

(39) $\begin{equation*} T=\dfrac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}a^3. \end{equation*}$

Osserviamo che l’equazione (39) corrisponde esattamente alla terza legge di Keplero. Nell’ipotesi in cui $m_1\gg m_2$ , come nel caso in cui $m_1$ è la massa del Sole e $m_2$ la massa di un generico pianeta, si ha che $k$ è

(40) $\begin{equation*} k=\dfrac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}\approx\dfrac{4\pi^2}{G\,m_1}. \end{equation*}$

Dunque nell’ipotesi $m_1\gg m_2$ l’equazione (40) non dipende da $m_2$ e quindi $k$ è approssimatevamente uguale per tutti i pianeti. La legge di gravitazione universale di Newton è dunque in grado di dimostrare matematicamente le leggi di Keplero ottenute sperimentalmente. Tra le due c’è una relazione biunivoca: partendo dalle leggi di Keplero si dimostra la legge di gravitazione universale, e viceversa. La legge di gravitazione ha validità universale, ed è quindi valida anche per i satelliti di un pianeta. Nel casi di un satellite terrestre artificiale di massa $\tilde{m}$ si ha

(41) $\begin{equation*} k\coloneqq \dfrac{4\pi^2}{G(M_\oplus+\tilde{m})}\approx\dfrac{4\pi^2}{G\,M_\oplus}\approx9\text{,}87\cdot10^{-14}\,\text{s}^2\,\text{m}^{-3}, \end{equation*}$

essendo la massa del satellite trascurabile rispetto alla massa terrestre $M_\oplus$ .

È bene tenere a mente due punti importanti. Per prima cosa, al fine di avere una completa equivalenza tra le due descrizioni, è necessario tenere conto, nella descrizione in temini del corpo di massa ridotta, del moto del centro di massa del sistema dei due corpi. Questo perché inizialmente il problema possiede due gradi di libertà (ovvero i due corpi $m_1$ e $m_2$ ) e due gradi di liberta deve avere nella descrizione in termini del corpo di massa ridotta (che sono appunto il corpo $\mu$ e il centro di massa del sistema dei due corpi). Come seconda puntializzazione, la situazione fisica reale è quella del problema dei due corpi; la descrizione in termini del corpo di massa ridotta e del centro di massa è puramente dovuta a una modellizazzione più conveniente del problema stesso poichè nel caso dei due corpi il moto del centro di massa è uniforme e pertanto contibuisce solo con una costante additiva all’energia del problema. Il problema dei due corpi è quindi ridotto a un problema di singolo corpo. ↩

Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Le coordinate polari di un punto che si muove in un piano variano nel tempo secondo la legge

$\begin{aligned} r(t)&=r_0 \exp{\left(-\frac{\omega t}{2\pi}\right)}\\ \theta(t) &= \omega t, \end{aligned}$

con $r_0,\omega \in \mathbb{R}$ .

Calcolare la velocità del punto nell’istante $t=0$ e dire se il moto avviene sotto l’azione di una forza centrale.

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano fisso $Oxy$ che descrive il moto del punto in coordinate polari come illustrato in figura 15.

$\quad$

Esercizi sulla gravitazione

Figura 15: moto di un punto in coordinate polari.

$\quad$

Si ricorda che data la parametrizzazione $\vec{r}(t)= x(t) \, \hat{x} + y(t) \, \hat{y}$ , dove $\hat{x}$ e $\hat{y}$ sono i versori degli assi coordinati, della traiettoria $\gamma$ descritta dal punto materiale nel piano cartesiano, si definisce velocità vettoriale il limite del rapporto incrementale di $\vec{r}$ come

(42) $\begin{equation*} \lim_{h \to 0} \dfrac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h} = \vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}}{dt}(t). \end{equation*}$

Scriviamo $\vec{v}$ in coordinate polari introducendo i versori $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$ e dall’equazione (42) abbiamo

(43) $\begin{equation*} \begin{split} \vec{v}(t) & = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{d(r \, \hat{r})}{dt} = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\hat{r}}{dt} =\\ & = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\theta}{dt} \, \hat{\theta}. \end{split} \end{equation*}$

Per ipotesi sappiamo che

(44) $\begin{equation*} r(t)=r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}},\quad\quad\theta(t) = \omega t. \end{equation*}$

Quindi confrontando l’equazione (44) con l’equazione (43), si ottiene

$\vec{v}(t) = \underbrace{r_0 \left(-\dfrac{\omega}{2\pi}\right) \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \hat{r}}_{\vec{v}_r \; \text{velocità radiale}} + \underbrace{r_0 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \omega \; \hat{\theta}}_{\vec{v}_\theta \; \text{velocità trasversa}}.$

Valutiamo la velocità all’istante $t=0$ , ottenendo

$\boxcolorato{fisica}{\vec{v}(0) = - \dfrac{\omega \; r_0}{2\pi} \; \hat{r} + r_0 \, \omega \, \hat{\theta}.}$

Si ricordi che in un campo di forze centrali il momento angolare $\vec{L}$ rispetto ad un polo qualsiasi è costante nel tempo (come visto in sezione 1.1 dei Richiami Teorici), ovvero si conserva. Prendiamo come polo rispetto a cui calcolare i momenti l’origine $O$ , allora

(45) $\begin{equation*} \frac{d\vec{L}_O}{dt}=0. \end{equation*}$

Deriviamo l’equazione (43) rispetto al tempo,

(46) $\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{d\vec{v}}{dt} & = \dfrac{d^2r}{dt^2} \, \hat{r} + \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \hat{\theta} + \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \hat{\theta} + r \; \dfrac{d^2\theta}{dt^2} \hat{\theta} - r \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \hat{r} =\\[5pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{d^2r}{dt^2}- r \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + \hat{\theta} \left(2 \; \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} + r \; \dfrac{d^2\theta}{dt^2}\right) =\\[5pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + \hat{\theta} \; \dfrac{1}{r} \; \left(\dfrac{d\left(r^2 \frac{d\theta}{dt}\right)}{dt}\right). \end{split} \end{equation*}$

Sostituendo l’equazione (44) nella (46) otteniamo

(47) $\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{d\vec{v}}{dt} & = \hat{r} \left(r_0 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \left( \left(-\dfrac{\omega}{2\pi}\right)^2 - \omega^2 \right) \right) + \hat{\theta} \left(2 r_0 \left(- \dfrac{\omega}{2\pi}\right)\; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \omega \right) = \\[5pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{r_0 \omega^2 (1-4\pi^2)}{4\pi^2} e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right) + \hat{\theta} \left(- \dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}\right). \end{split} \end{equation*}$

Dal teorema del momento angolare per un punto materiale sappiamo che

$\dfrac{{}d\vec{L}_{O}}{dt} = {\vec{M}_{O}}^{\text{\tiny ext}}.$

Se la forza responsabile del moto è una forza centrale, in virtù dell’equazione (45) la precedente equazione diventa

(48) $\begin{equation*} {\vec{M}_{O}}^{\text{\tiny ext}}=0. \end{equation*}$

Sia $\vec{F}$ la forza responsabile del moto, allora il momento della forza rispetto al polo $O$ è

$\begin{aligned} {\vec{M}_{O}}^{\text{\tiny ext}} & = \vec{r} \wedge \vec{F} = \\ & = \vec{r} \wedge m \; \dfrac{d\vec{v}}{dt} =\\ & =m r\,\left(-\dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right)\, \hat{r} \wedge \hat{\theta} = \\ & =m \left(r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}\right)\left(-\dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right)\, \hat{r} \wedge \hat{\theta} = \\ & = -m \dfrac{\omega^2}{\pi} r_0^2 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \hat{z} \neq 0, \end{aligned}$

dove $\hat{z}$ è il versore nella direzione dell’asse delle $z$ .

$\quad$

Si conclude che $\vec{L}$ non si conserva, pertanto il moto non avviene sotto una forza centrale.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In una sfera di piombo piena con la massa distribuita in modo omogeneo e raggio $R$ è praticata una cavità sferica la cui superficie è tangente alla superficie della sfera e passa per il centro della stessa, come illustrato in figura 16. La massa originaria della sfera è $M$ .

Calcolare la forza gravitazionale $\vec{F}$ con la quale la sfera così scavata attirerà una piccola sfera di massa $m$ posta a una distanza $d$ dal suo centro lungo la retta che collega i centri delle due sfere.

$\quad$

Esercizi sulla gravitazione

Figura 16: sistema fisico in esame.

$\quad$

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