Esercizio leggi della dinamica 13

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio leggi della dinamica 13

L’esercizio 13 sulle leggi della dinamica è il tredicesimo della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 12 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 14. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo leggi della dinamica 13

Esercizio 13 $(\bigstar \bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa $m_1$ è posta sopra una massa $m_2$ . Le due masse sono collegate da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una carrucola. Una terza massa $m_3$ è collegata alla massa $m_2$ da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una seconda carrucola, come illustrato in figura. Tutte le superfici di contatto sono scabre, con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ . Calcolare:

il valore del modulo dell’accelerazione di ciascuna delle tre masse;
il modulo della tensione della fune che collega $m_1$ ad $m_2$ ;
il modulo della tensione della fune che collega $m_2$ ad $m_3$ ;
il vettore risultante che agisce sul terreno su cui giace $m_2$ .

Si trascuri l’attrito tra funi e carrucole.

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Svolgimento Punto 1.

Definiamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ come illustrato in figura 1, rispetto al quale costruire il diagramma di corpo libero per ciascuno dei tre corpi del sistema fisico in esame.

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Siano $m_3g$ il modulo della forza peso del corpo $3$ e $F_{max}$ la forza di attrito statico massima della massa $m_2$ , dalle ipotesi del problema è chiaro che la forza peso $m_3g>F_{max}$ , sicché il sistema entri in movimento. Il corpo $m_3$ si muoverà nel verso negativo dell’asse delle $y$ , con accelerazione di modulo $a_3$ ; il corpo $m_2$ si muoverà nel verso positivo dell’asse delle $x$ , con accelerazione di modulo $a_2$ ; il corpo $m_1$ si muoverà nel verso negativo dell’asse delle $x$ , con accelerazione di modulo $a_1$ . Sul corpo $m_1$ lungo l’asse delle $x$ agiscono la forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,1}$ (il verso della forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,1}$ è diretto nel verso positivo dell’asse delle $x$ , in quanto il corpo $m_1$ si muove nel verso negativo dell’asse delle $x$ ) e la tensione della corda $\overrightarrow{T}_{1,2}$ (generata dalla fune che lo collega al corpo $m_2$ ). Lungo l’asse delle $y$ agiscono la forza peso $m_1\vec{g}$ e la reazione vincolare $\vec{N}_1$ . Tutte le forze sono rappresentate in figura 1. Il corpo $m_1$ scorre sopra il corpo $m_2$ nel verso negativo dell’asse delle $x$ , per cui applicando il secondo principio della dinamica al corpo $m_1$ e proiettando le forze lungo gli assi $x$ e $y$ , si ha

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} x:\quad T_{1,2}-f_{a,1}=m_1a_1\\ \quad\\ y:\quad m_1g-N_1=0 \end{cases}. \end{equation*}$

Sul corpo $m_2$ lungo l’asse delle $x$ agiscono la tensione $\overrightarrow{T}_{2,1}$ (generata dalla fune che lo collega al corpo $m_2$ ) della corda che lo collega al corpo $m_1$ , la tensione $\overrightarrow{T}_{2,3}$ (generata dalla fune che lo collega al corpo $m_3$ ) e la forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,2}$ (il verso della forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,2}$ è diretto nel verso negativo dell’asse delle $x$ , in quanto il corpo $m_2$ si muove nel verso positivo dell’asse delle $x$ ). Inoltre, poiché quando il corpo $m_1$ si muove sul corpo $m_2$ si esplica una forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,1}$ agente su $m_1$ , allora per il terzo principio della dinamica esisterà una forza $-\vec{f}_{a,1}$ che agirà su $m_2$ , uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso. Lungo l’asse delle $y$ agiscono la forza peso $m_2\vec{g}$ e le reazione vincolari $-\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$ , quest’ultima a causa del contatto con il terreno, orientate come in figura 1. Analogamente a quanto visto nel caso dell’asse delle $x$ , la presenza della forza $-\vec{N}_1$ è la conseguenza del terzo principio della dinamica in riferimento al contatto tra le superfici dei corpi $1$ e $2$ . Il corpo $m_2$ si muove lungo l’asse positivo delle $x$ , per cui applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo gli assi $x$ e $y$ , si ha

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} x:\quad T_{2,1}-T_{2,3}-f_{a,1}-f_{a,2}=m_2a_2\\ \quad\\ y:\quad m_2g+N_1-N_2=0 \end{cases}. \end{equation*}$

Il corpo $m_3$ è soggetto alla forza peso $m_3\vec{g}$ e alla tensione $\overrightarrow{T}_{3,2}$ (generata dalla fune che lo collega al corpo $m_2$ ), per cui applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo l’asse delle $y$ , si ha

(3) $\begin{equation*} m_3g-T_{3,2}=m_3a_3. \end{equation*}$

Abbiamo ottenuto 6 equazioni (definite nei sistemi (1, (2) e nell’equazione (3), ma con 11 incognite ( ${T}_{1,2}$ , ${T}_{2,1}$ , ${T}_{2,3}$ , ${T}_{3,2}$ , ${f}_{a,1}$ , ${f}_{a,2}$ , ${N}_{1}$ , ${N}_{2}$ , $a_1$ , $a_2$ e $a_3$ ). Se il numero delle incognite è inferiore al numero delle equazioni il sistema risulta essere indeterminato, per cui è necessario trovare ulteriori correlazioni tra le varie incognite. Osserviamo che poiché le due corde sono inestensibili, tese e in movimento, tutti e tre i corpi a cui sono collegate si muoveranno con la medesima accelerazione, cioè

(4) $\begin{equation*} \vert a_1\vert= a_2 =a_3\equiv a. \nonumber \end{equation*}$

Inoltre, poiché l’attrito tra le corde e le carrucole è trascurabile significa che il ruolo svolto da quest’ultime è solamente quello di cambiare la direzione ed il verso delle tensioni preservandone il modulo. In virtù di ciò segue che

$\begin{aligned} T_{1,2}&=T_{2,1}\equiv T_1;\\ T_{2,3}&=T_{3,2}\equiv T_2. \end{aligned}$

Alla luce delle osservazioni fatte, il problema si è notevolmente semplificato. Riscriviamo solo le proiezioni $x$ delle equazioni nei sistemi (1), (2) e l’equazione (3), ossia

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} T_1-f_{a,1}=m_1a\\ \quad\\ T_2-T_1-f_{a,1}-f_{a,2}=m_2a\\ \quad\\ m_3g-T_2=m_3a \end{cases}. \end{equation*}$

Il sistema ottenuto è stato costruito “ad hoc”: sommando membro a membro le tre equazioni, le tensioni dei fili si elidono. Dunque, sommando membro a membro delle tre equazioni del sistema, si ottiene

(6) $\begin{equation*} -2f_{a,1}-f_{a,2}+m_3g=(m_1+m_2+m_3)a\quad \Leftrightarrow\quad a=\dfrac{-2f_{a,1}-f_{a,2}+m_3g}{m_1+m_2+m_3}. \end{equation*}$

Dall’equazione (1) $_{2}$ si ha

(7) $\begin{equation*} N_1=m_1g, \end{equation*}$

mentre dall’equazione (2) $_2$ , sostituendo il valore di $N_1$ (ottenuto nell’eq.(7)), si ottiene

(8) $\begin{equation*} N_2=m_2g+N_1=(m_1+m_2)g. \end{equation*}$

Per ottenere l’accelerazione $a$ , è necessario calcolare le forze di attrito dinamico $f_{a,1}$ e $f_{a,2}$ , ossia

(9) $\begin{equation*} f_{a,1}=\mu_d N_1=\mu_d m_1 g, \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \qquad \quad f_{a,2}=\mu_d N_2=\mu_d(m_1+m_2)g, \end{equation*}$

dove abbiamo usato i risultati ottenuti dalle equazioni (7) e (8). Sostituendo i valori di $f_{a,1}$ e $f_{a,2}$ (appena ottenuti) nella equazione (6) si giunge ad

(11) $\begin{equation*} a=\dfrac{-2\mu_d m_1g-\mu_d(m_1+m_2)g+m_3g}{m_1+m_2+m_3}, \end{equation*}$

che riscritta opportunamente diventa

$\boxcolorato{fisica}{ a=\dfrac{g\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right)}{m_1+m_2+m_3}.}$

Svolgimento Punto 2.

Nota l’accelerazione $a$ con la quale si muovono i tre corpi, possiamo calcolare il modulo delle due tensioni con una semplice sostituzione. Da (5) $_1$ segue che

$\begin{aligned} &T_1=m_1a+f_{a,1}=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right)+\mu_dN_1=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right)+\mu_d m_1g =\\ &=m_1g\left(\dfrac{m_3-\mu_d(m_2+3m_1)}{m_1+m_2+m_3}+\mu_d\right)=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_dm_2-3\mu_dm_1+\mu_d\left(m_1+m_2+m_3\right)\right), \end{aligned}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{ T_1=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3+\mu_d\left(m_3-2m_1\right)\right).}$

Si osservi che per calcolare $T_1$ abbiamo usato il valore di $a$ trovato nel punto $1$ e $f_{a,1}$ definita nell’equazione (9).

Svolgimento Punto 3.

Da (5) $_3$ ricaviamo che

$\begin{aligned} T_2&=m_3(g-a)=\\ &=m_3\left(g-\dfrac{g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d\left(m_2+3m_1\right)\right)\right)=\\ &= \dfrac{m_3g}{m_1+m_2+m_3}(m_1+m_2+m_3-m_3+\mu_dm_2+3\mu_dm_1), \end{aligned}$

o anche

$\boxcolorato{fisica}{ T_2=\dfrac{m_3g}{m_1+m_2+m_3}(m_1+m_2+\mu_d(m_2+3m_1)).}$

Si osservi che per calcolare $T_2$ abbiamo usato il valore di $a$ trovato nel punto $1$ .

Svolgimento Punto 4.

Per calcolare il vettore risultante $\vec{R}$ , dato dalla somme delle forze che agiscono sul terreno su cui giace $m_2$ , consideriamo lo schema delle forze in figura 2. Poiché il terreno esplica sul corpo $m_2$ una reazione vincolare $\vec{N}_2$ (diretta nel verso positivo dell’asse $y$ ) e una forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,2}$ (diretta nel verso negativo dell’asse $x$ ), allora per il terzo principio della dinamica, il corpo $m_2$ a sua volta esplicherà sul terreno le forze $-\vec{N}_2$ e $-\vec{f}_{a,2}$ .

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La forza $\vec{R}$ che agisce sul terreno sarà dunque

(12) $\begin{equation*} \vec{R}=-\vec{f}_{a,2}-\vec{N}_2=f_{a,2}\hat{x}-N_{2}\hat{y}, \end{equation*}$

da cui, sostituendo i valori di $f_{a,2}$ ed $N_2$ (ottenuti nell’equazioni (10) e (8)), si ottiene

$\boxcolorato{fisica}{ \vec{R}=(m_1+m_2)g(\mu_d \hat{x}-\hat{y}),}$

dove $\hat{x}$ ed $\hat{y}$ sono i versori rispettivamente dell’asse $x$ e dell’asse $y$ .

L’angolo che il vettore $\vec{R}$ forma con il terrore è

$\boxcolorato{fisica}{\theta=\arctan\left(\dfrac{N_2}{f_{a,2}}\right)=\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right);}$

inoltre, il modulo di $\vec{R}$ è

$\boxcolorato{fisica}{ R=(m_1+m_2)g\sqrt{\mu_d^2+1}.}$

Approfondimento 1.

Nello svolgimento del punto 1) abbiamo utilizzato le proprietà di un filo ideale privo di massa per poter dire che i tre corpi si muovono con la stessa accelerazione in modulo. Possiamo convincerci di questo fatto con una trattazione più rigorosa. In figura 3 è riportato un sistema di tre corpi di massa $m_1,m_2$ ed $m_3$ collegati da un filo ideale e di massa trascurabile. Fissiamo un sistema di riferimento $Ox$ con origine $O$ in corrispondenza dell’estremità alla quale è legato il filo. Indichiamo con $x_{i}(t)$ la posizione dell’i-esimo corpo all’istante $t$ rispetto all’origine $O$ .

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Poiché il filo è inestensibile e teso, le distanze tra i corpi sono costanti. In particolare, detta $\ell_{1,2}$ la distanza tra il corpo 1 e 2 ed $\ell_{2,3}$ la distanza tra il corpo 2 e 3, abbiamo che

(13) $\begin{equation*} \ell_{1,2}\equiv x_{2}(t)-x_{1}(t) \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} \,\ell_{2,3}\equiv x_{3}(t)-x_{2}(t). \end{equation*}$

Derivando due volte rispetto al tempo ambo i membri delle equazioni (13) e (14), si ottiene

(15) $\begin{equation*} \begin{cases} \ddot{\ell}_{12}\equiv\ddot{x}_{2}(t)-\ddot{x}_{1}(t)=0\\ \ddot{\ell}_{23}\equiv\ddot{x}_{3}(t)-\ddot{x}_{2}(t)=0 \end{cases} \quad\Rightarrow \quad \begin{cases} \ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t)\\ \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t) \end{cases} \quad\Rightarrow \quad \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t). \end{equation*}$

L’equazione (15) in sintesi ci dice che: se consideriamo un filo di massa trascurabile e inestensibile, teso e in movimento, allora l’ipotesi che il filo sia inestensibile implica che tutti i punti del filo (compresi gli estremi) abbiano la stessa accelerazione. Di conseguenza tutti i corpi in esame: $1$ , $2$ e $3$ hanno la medesima accelerazione. Inoltre, il fatto che il filo abbia massa trascurabile implica che il prodotto $ma$ sia nullo per il filo (e per qualsiasi posizione di esso) e quindi la risultante delle forze sul filo è nulla; di conseguenza il valore della tensione del filo durante il moto è lo stesso in qualunque punto del filo, come nel caso statico. In virtù di ciò, riprendendo l’esempio sopra, segue che

(16) $\begin{equation*} \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t) \equiv a. \nonumber \end{equation*}$

Approfondimento 2.

Riprendendo l’espressione dell’angolo $\theta$ che il vettore $\vec{R}$ forma con il terreno, studiamo i due casi che seguono.

Caso 1. Consideriamo il caso in cui la forza di attrito dinamico è praticamente trascurabile, per cui
(17) $\begin{equation*} \lim_{\mu_d\longrightarrow 0}\theta=\lim_{\mu_d\longrightarrow 0}\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right)=\dfrac{\pi}{2}. \nonumber \end{equation*}$

Quindi se non ci fosse forza di attrito abbiamo che $\vec{R}=-\vec{N}_2$ (come è facilmente verificabile dall’eq.(12)).
Caso 2. Consideriamo il caso estremo in cui il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ tende al valore di 1 (è un caso limite, non realistico). In questo caso
(18) $\begin{equation*} \lim_{\mu_d\longrightarrow 1}\theta=\lim_{\mu_d\longrightarrow 1}\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right)=\dfrac{\pi}{4}. \nonumber \end{equation*}$

Poiché il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d\in\left(0,1\right)$ si ha $\dfrac{1}{\mu_d}\in\left(1,+\infty\right)$ e siccome l’arcotangente è una funzione strettamente crescente nel suo dominio di definizione, deduciamo che in generale $\theta\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right).$ Si osservi che si poteva ragionare a retroso; ovvero, partire del fatto che $\theta \in \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ e ottenere $\mu_d \in(0,1)$ , sfruttando la relazione di $\theta$ trovata nel punto $d$ .

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Un po’ di storia sulle leggi della dinamica

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Le leggi della dinamica rappresentano uno dei pilastri fondamentali della fisica classica. Formulate da Isaac Newton nel XVII secolo, queste leggi hanno rivoluzionato la nostra comprensione del movimento e delle forze, gettando le basi per la fisica moderna. La storia delle leggi della dinamica inizia con le prime intuizioni pre-scientifiche e arriva fino alle scoperte rivoluzionarie di Newton, estendendosi al loro impatto duraturo sulla scienza e sulla tecnologia contemporanea.

Prima di Newton, la comprensione del movimento e delle forze era dominata dalle idee di Aristotele, un filosofo greco del IV secolo a.C. Aristotele credeva che tutti i corpi avessero un “luogo naturale” e che si muovessero solo quando una forza esterna agiva su di essi. Questa visione, conosciuta come “fisica aristotelica”, affermava che un oggetto in movimento si fermava automaticamente una volta cessata la forza che lo spingeva. Questa concezione aristotelica rimase predominante per secoli, influenzando profondamente la filosofia naturale. Tuttavia, presentava limitazioni significative, specialmente nella spiegazione di fenomeni come il moto dei pianeti o il comportamento dei proiettili. Nonostante i suoi limiti, la fisica aristotelica gettò le basi per lo sviluppo successivo delle leggi della dinamica.

Un punto di svolta nella comprensione del movimento fu segnato da Galileo Galilei, un matematico e fisico italiano del XVI secolo. Galileo sfidò molte delle idee di Aristotele, introducendo concetti che sarebbero stati fondamentali per la formulazione delle leggi della dinamica. Galileo fu il primo a dimostrare che la velocità di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa, ma dal tempo trascorso. Egli introdusse il concetto di inerzia, l’idea che un corpo in movimento rimane in movimento a meno che una forza esterna non intervenga. Questo principio di inerzia costituì la base della Prima legge di Newton, una delle tre leggi della dinamica che avrebbero rivoluzionato la fisica. Oltre a queste scoperte, Galileo sviluppò la metodologia scientifica basata sull’osservazione e l’esperimento, ponendo le basi per la fisica moderna. Le sue idee furono cruciali per la successiva formulazione delle leggi della dinamica da parte di Newton.

Isaac Newton, uno dei più grandi scienziati della storia, formulò le leggi della dinamica nel suo capolavoro “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, pubblicato nel 1687. Le tre leggi di Newton descrivono il comportamento del movimento e delle forze in modo preciso e matematico, fornendo una base solida per la meccanica classica. La Prima legge della dinamica, nota anche come legge dell’inerzia, afferma che un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rimane in tale stato finché non agisce su di esso una forza esterna. Questa legge formalizza il concetto introdotto da Galileo, stabilendo che il movimento non richiede una forza continua per essere mantenuto, ma solo per essere alterato. La legge dell’inerzia fu rivoluzionaria perché sfidava direttamente la fisica aristotelica, dimostrando che il moto non è il risultato di un’azione continua ma di una condizione naturale degli oggetti.

La Seconda legge della dinamica, forse la più famosa delle tre, stabilisce che la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa e alla sua accelerazione, secondo la formula F = ma. Questa legge descrive come le forze influenzano il movimento degli oggetti e fornisce una base per calcolare le forze necessarie per muovere o fermare un oggetto. Questa legge è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica classica, permettendo di comprendere e prevedere con precisione il comportamento degli oggetti sotto l’influenza di forze diverse. È grazie a questa legge che possiamo spiegare fenomeni quotidiani, come la caduta di un oggetto o il lancio di un proiettile, con una precisione matematica.

La Terza legge della dinamica è forse la più intuitiva: afferma che per ogni azione esiste una reazione uguale e contraria. Questo significa che quando un oggetto esercita una forza su un altro, il secondo oggetto esercita una forza uguale e opposta sul primo. Questa legge è evidente in molti fenomeni quotidiani, come il rimbalzo di una palla o il funzionamento di un razzo. La comprensione di questa legge è essenziale per l’ingegneria e la tecnologia moderne, poiché spiega come le forze interagiscono in sistemi complessi.

Le leggi della dinamica di Newton hanno avuto un impatto profondo e duraturo sulla fisica classica. Prima della loro formulazione, la comprensione del movimento e delle forze era frammentaria e spesso basata su osservazioni qualitative piuttosto che su principi matematici. Le leggi di Newton hanno fornito una struttura coerente e matematica per descrivere il comportamento degli oggetti in movimento, permettendo ai fisici di fare previsioni accurate e di sviluppare nuove tecnologie. Grazie alle leggi della dinamica, è stato possibile sviluppare la meccanica celeste, che spiega il movimento dei pianeti e delle stelle. Queste leggi hanno permesso di calcolare con precisione le orbite dei corpi celesti, confermando le teorie di Keplero e contribuendo alla comprensione dell’universo. Le leggi della dinamica hanno anche gettato le basi per l’ingegneria moderna, permettendo la progettazione di macchine, edifici e veicoli con una comprensione precisa delle forze in gioco. Senza le leggi di Newton, molte delle tecnologie che diamo per scontate oggi, come gli aerei, le automobili e i ponti, non sarebbero possibili.

Con l’avvento della fisica moderna, alcune delle previsioni delle leggi della dinamica di Newton sono state riviste e ampliate. In particolare, la teoria della relatività di Einstein ha dimostrato che le leggi di Newton non sono sufficienti per descrivere il movimento a velocità prossime a quella della luce o in campi gravitazionali molto forti. Tuttavia, le leggi della dinamica rimangono valide e utili nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano a essere insegnate come parte fondamentale della fisica.

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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Esercizio leggi della dinamica 13

Esercizio leggi della dinamica 13

Testo leggi della dinamica 13

Svolgimento Punto 1.

Svolgimento Punto 2.

Svolgimento Punto 3.

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Approfondimento 1.

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