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Lavoro ed energia: esercizio 81

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 81

Esercizio lavoro ed energia 81

L’esercizio 81 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 80 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 82. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Ottieni il documento contenente 82 esercizi risolti, contenuti in 255 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del lavoro ed energia in meccanica classica.

 

Testo lavoro ed energia 81

Esercizio 81 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due punti materiali di massa m_1 ed m_2 collegati da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla si trovano alla sommità di due aste rigide di lunghezza rispettivamente \ell_1 e \ell_2 con un vertice in comune e formanti un angolo di 90^o, come rappresentato in figura 1. Le aste si trovano in un piano verticale, sono ancorate sul piano sul quale poggiano e su di esse non è presente attrito. Sapendo che inizialmente il sistema è in quiete trovare la posizione di equilibrio delle due masse. Inoltre, se si mantiene fissa la massa m_1 determinare il modulo della velocità iniziale \vec{v}_0 diretta parallelamente all’asta di lunghezza \ell_2 che deve avere m_2 affinché raggiunga la base della barretta con velocità nulla.

 

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura 2 e chiamiamo \beta l’angolo che forma la molla con il cateto sul quale giace m_1.  

 

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Sistema di riferimento fisso Oxy nel contesto di un problema di lavoro ed energia, con le masse m1 e m2 collegate da una molla e l'angolo beta formato tra la molla e il cateto su cui giace m1.

 

  Le masse m_1 e m_2 sono soggette alle rispettive forze peso m_1\vec{g} e m_2\vec{g}, e alle forze generate dalla molla che le unisce; queste ultime sono uguali in modulo, hanno stessa direzione ma verso opposto, come mostrato in figura 2, e perciò le indicheremo rispettivamente come \vec{F}_M e -\vec{F}_M.  

 

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Rappresentazione delle forze agenti sulle masse m1 e m2 in un problema di lavoro ed energia, incluse le forze peso e le forze generate dalla molla.

 

  Sia r è la lunghezza della molla. Per la seconda legge della dinamica all’equilibrio (abbiamo posto l’accelerazione pari a zero dato che il sistema è in quiete) abbiamo

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} m_1 g\sin\alpha-kr\cos \beta=0\\[10pt] m_2 g\cos\alpha-kr\sin\beta=0, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} r\cos \beta =\dfrac{m_1g\sin \alpha}{k}\\[10pt] r\sin\beta=\dfrac{m_2g\cos \alpha}{k}. \end{cases} \end{equation*}

Dalla figura 2 si evince che m_1 giace sull’asse delle x, mentre m_2 giace sull’asse delle y. Definiamo x la posizione di m_1 sull’asse delle x e y la posizione di m_2 sull’asse delle y. Pertanto, osservando la figura 3, dalla geometria del problema, si ha

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} x=r\cos \beta \\[10pt] y=r \sin \beta. \end{cases} \end{equation*}

Confrontando il precedente sistema con il sistema (2) otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} x=\dfrac{m_1g\sin\alpha}{k}\\[10pt] y=\dfrac{m_2 g\cos\alpha}{k}, \end{cases}}\]

che è quello che cercavamo.

 

  Ora fissiamo m_1 sull’asta di lunghezza \ell_1 e forniamo una velocità iniziale \vec{v}_0 a m_2 diretta parallelamente all’asta di lunghezza \ell_2 tale che arrivi alla fine del cateto sul quale giace con velocità nulla. Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica e fissiamo il livello del l’energia potenziale nulla sulla base del piano orizzontale sul quale poggiano le due aste. Come situazione iniziale consideriamo quella dove il corpo m_2 ha una velocità iniziale \vec{v}_0, si trova a una quota H e la molla ha una lunghezza iniziale r_i. L’energia iniziale è

(4)   \begin{equation*} E_i=\dfrac{1}{2}m_2v_0^2+m_2gH+\dfrac{1}{2}kr_i^2. \end{equation*}

Di seguito in figura 4, rappresentiamo il sistema all’istante iniziale.  

 

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Situazione finale in un problema di lavoro ed energia, in cui m2 raggiunge la base della barretta con la lunghezza della molla pari a rf.

 

  Siano \ell_2 è la lunghezza del cateto sul quale giace m_2 e \ell^\prime_2 è la distanza tra m_2 è la fine la fine del cateto (ovvero la distanza totale che deve percorrere prima di fermarsi). Osservando la figura 4, dalla geometria del problema, si ha

(5)   \begin{equation*} \ell_2^\prime=\ell_2-y=\ell_2-\dfrac{m_2 g\sin\gamma}{k}=\ell_2-\dfrac{m_2 g\cos\alpha}{k} , \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} H=\ell_2^\prime \sin\gamma=\left(\ell_2-\dfrac{m_2 g\cos\alpha}{k} \right)\cos\alpha. \end{equation*}

Utilizzando il risultato pervenuto al primo punto del problema possiamo ricavare la lunghezza iniziale della molla, cioè

(7)   \begin{equation*} r_i=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(\dfrac{m_1g\sin \alpha}{k}\right)^2+\left(\dfrac{m_2g\cos\alpha}{k}\right)^2}. \end{equation*}

Come situazione finale consideriamo quella dove m_2 raggiunge la fine della barretta. L’energia finale è

(8)   \begin{equation*} E_f=\dfrac{1}{2}kr^2_f, \end{equation*}

dove r_f è la lunghezza della molla in tale istante. Di seguito, in figura 5, rappresentiamo la situazione nell’istante finale.  

 

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  Osservando la figura 5, dalla geometria del problema, si ha (abbiamo applicato il teorema di Carnot)

(9)   \begin{equation*} r_f=\sqrt{\left(\dfrac{m_1g\sin\alpha}{k}\right)^2+\ell_2^2}. \end{equation*}

Per la conservazione dell’energia si ha

(10)   \begin{equation*} E_i=E_f. \end{equation*}

La precedente equazione grazie alle equazioni (4) e (8) diventa

(11)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2} m_2 v_0^2 + m_2 g H + \dfrac{1}{2} k r_i^2 = \dfrac{1}{2} k r_f^2. \end{equation*}

Avvalendoci delle equazioni (6), (7) e (9) la precedente equazione può essere riscritta come

(12)   \begin{equation*} \begin{aligned} &\dfrac{1}{2} m_2 v_0^2 + m_2 g \left( \ell_2 - \dfrac{m_2 g\cos\alpha}{k} \right) \cos\alpha+\\[10pt] &+\dfrac{1}{2}k\left(\left(\dfrac{m_1g\sin \alpha}{k}\right)^2+\left(\dfrac{m_2g\cos\alpha}{k}\right)^2\right)=\dfrac{1}{2} k \left( \left( \dfrac{m_1g\sin\alpha}{k} \right)^2 + \ell_2^2 \right) , \end{aligned} \end{equation*}

o anche

(13)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m_2v_0^2+m_2g\ell_2 \cos \alpha-\dfrac{m_2^2g^2}{k}\cos^2\alpha+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_2^2g^2}{k}\cos^2\alpha=\dfrac{1}{2}k\ell_2^2, \end{equation*}

infine

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_0=\sqrt{\dfrac{k\ell_2^2}{m_2}+\dfrac{m_2g^2\cos^2\alpha}{k}-2g\ell_2\cos\alpha}.}\]


 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

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    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

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    Esercizi di Meccanica razionale

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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