Home » Esercizio lavoro ed energia 76

 

 

Esercizio 76  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa 2m è attaccato, tramite una molla ideale di costante elastica k e lunghezza a riposo \ell_0, ad un altro punto materiale di massa m. Il sistema fisico composto dalle due masse è posto verticalmente con il punto materiale di massa 2m posto ad altezza h dal suolo, come mostrato in figura 1. La molla è inizialmente a riposo. Determinare l’altezza h massima affinché la massa 2m una volta raggiunto il suolo rimanga appoggiata su di esso. Il risultato va espresso in funzione di m, g e k.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Svolgimento.

Inizialmente il sistema è disposto nel vuoto con le due palline allineate verticalmente e la molla è a riposo, quindi non è presente la forza della molla su nessuna delle due palline e le due palline cadono nel vuoto soggette solo alle rispettive forze peso. Quando 2m urta il suolo rimane appoggiata ad esso e non ci sono rimbalzi, la massa m comprime la molla fino a fermarsi per poi tornare indietro e raggiungere l’altezza massima. Tra l’istante iniziale e l’istante in cui la massa 2m tocca il suolo entrambe le masse hanno in ogni istante la stessa velocità, dato che la molla rimane sempre a riposo (cioè né si allunga e né si comprime) e su di esse l’unica forza agente è la forza peso; in altri termini entrambe le masse partendo da ferme e avendo accelerazione pari a -g hanno entrambe velocità pari a v(t)=-gt. La precedente legge è valida solo tra l’istante iniziale e un istante prima che 2m urti il suolo. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oy. Nella figura 1, si rappresenta il sistema di riferimento e il sistema fisico composto dalle due masse all’istante t=0.    

Rendered by QuickLaTeX.com

   

In figura 2, rappresentiamo la situazione un’istante prima che 2m urti il suolo.  

Rendered by QuickLaTeX.com

   

Vogliamo determinare la velocità della massa m un’istante prima che 2m urti il suolo applicando la conservazione dell’energia. Sia v_1 la velocità che possiede m un’istante prima che 2m urti il suolo. Abbiamo dunque

(1)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2_1=mgh, \end{equation*}

da cui

(2)   \begin{equation*} v_1=\sqrt{2gh}. \end{equation*}

Dopo l’urto l’energia cinetica della massa m inizia a convertirsi in energia potenziale della molla e della forza peso fino alla compressione massima della molla, dove tutta l’energia cinetica si trasforma in energia potenziale. Dopo di ciò il processo si inverte e l’energia potenziale viene riconvertita in energia cinetica (si veda la figura 3).

   

Rendered by QuickLaTeX.com

   

Nel momento dell’urto 2m rimane attaccata al terreno e la massa m scende fino a comprime la molla di una quantità \Delta y per poi risalire fino a far tornare la molla a riposo e in quell’esatto istante avrà velocità v=\sqrt{2gh} rivolta verso l’alto (asse positivo delle y), dopo di che continuerà a salire fino a fermarsi facendo arrivare la lunghezza della molla alla sua ampiezza massima y_{\max	}. Affinché la massa 2m rimanga ferma deve valere istante per istante che la somma delle forze applicate ad essa risulti nulla, mentre la massa m sale verso l’alto. Rappresentiamo quanto detto in figura 4.  

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

  Di seguito descriviamo le forze agenti su 2m una volta urtato il terreno. La forza \vec{N} è la reazione vincolare del terreno rivolta nel verso positivo delle y, 2m\vec{g} è la forza peso rivolta nel verso negativo delle y e \vec{F}_M è la forza della molla rivolta nel verso positivo delle y. Ovviamente la forza \vec{F}_M è rivolta nel verso negativo delle y solo fino a quando la molla non raggiunga di nuovo la posizione a riposo. Sia \tilde{y} la posizione di m nel sistema di riferimento Oy. Dalla seconda legge della dinamica per 2m abbiamo

(3)   \begin{equation*} 	N+k\left(\tilde{y}-\ell_0\right)-2mg=0. 	\end{equation*}

Dato che ci è stato chiesto di determinare l’altezza massima y dobbiamo metterci nella condizione “limite” e questo avviene quando N=0. Imponendo N=0 e sostituendo \tilde{y} con y_{\max} l’equazione (3) diventa

(4)   \begin{equation*} 		ky_{\max}=2mg +\ell_0k\quad \quad \Leftrightarrow \quad y_{\max}=\dfrac{2mg}{k}+\ell_0. 	\end{equation*}

Sfruttiamo nuovamente la conservazione dell’energia e consideriamo l’istante iniziale in cui la massa 2m tocca terra e l’istante finale in cui m raggiunge la quota y_{\max}. In tale istante m ha velocità nulla (si ricordi che in un moto armonico semplice quando si raggiunge l’ampiezza massima si annulla la velocità). Per la conservazione dell’energia abbiamo

(5)   \begin{equation*} 		\dfrac{1}{2}mv^2_1+mg\ell_0=mgy_{\max}+\dfrac{1}{2}k\left(y_{\max}-\ell_0\right)^2. 	\end{equation*}

Mettiamo a sistema le equazioni (1), (4) e (5) ottenendo

(6)   \begin{equation*} 		\begin{cases} 			v_1=\sqrt{2gh}\\[10pt] 			y_{\max}=\dfrac{2mg}{k}+\ell_0\\[10pt] 			\dfrac{1}{2}mv_1^2+mg\ell_0=mgy_{\max}+\dfrac{1}{2}k\left(y_{\max}-\ell_0\right)^2. 		\end{cases} 	\end{equation*}

Dal precedente sistema si ottiene

(7)   \begin{equation*} 	\begin{aligned} 		&\dfrac{1}{2}m\left(2gh\right)+mg\ell_0=mg\left(\dfrac{2mg}{k}+\ell_0\right)+\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{2mg}{k}\right)^2 \quad \Leftrightarrow \\[10pt] 		& \Leftrightarrow \quad mgh+mg\ell_0=\dfrac{2m^2g^2}{k}+mg\ell_0+\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{4m^2g^2}{k^2}\right)\quad \Leftrightarrow \\[10pt] 		&\Leftrightarrow \quad h=\dfrac{2mg}{k}+\dfrac{2mg}{k}=\dfrac{4mg}{k}. 	\end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{h=\dfrac{4mg}{k}.}\]