Home » Esercizio lavoro ed energia 75

 

 

Esercizio 75  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m e dimensioni trascurabili è libero di muoversi senza attrito lungo un profilo circolare di raggio R, disposto verticalmente. Una molla ideale (massa trascurabile e che rispetta la legge di Hooke) ha un estremo attaccato ad un punto fisso A del profilo circolare e l’altro estremo è attaccato al punto materiale di massa m, come rappresentato in figura 1. Il corpo, sottoposto alla forza peso, può scivolare senza attrito lungo il profilo. Inizialmente il corpo si trova fermo nel punto B con \theta=\theta_0 ed in tale posizione la molla è a riposo.

  1. Determinare i valori delle componenti normale e tangenziale dell’accelerazione del corpo nei punti B e C indicati in figura 1, supponendo che la costante elastica della molla sia k. I risultati vanno forniti in funzione di k, g, R, \theta_0 e m.
  2. Quale valore deve avere la costante k della molla affinché sia nulla la forza esercitata sul profilo quando il corpo, in movimento, si trova al punto C? I risultati vanno forniti in funzione di g, R, \theta_0 e m.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

 

Richiami teorici.

Ricordiamo che un angolo alla circonferenza è un angolo convesso avente vertice sulla circonferenza e i lati entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza. Dato un angolo alla circonferenza, si dice angolo al centro corrispondente ad esso, l’angolo al centro che insiste sullo stesso arco Si dimostra che l’angolo al centro è pari al doppio del corrispondente angolo alla circonferenza (si veda la figura 2).  

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

  Inoltre, ricordiamo due teoremi dei triangoli rettangoli riferendoci alla figura 2.  

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

 


Teorema 1.

Dato un triangolo rettangolo, un cateto può essere espresso come il prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente o per il seno dell’angolo opposto:

    \[\begin{aligned} &a=i\cos \beta \, ,\,\,a=i\sin \alpha. \\ &b=i\cos \alpha\, , \,\, b=i \sin \beta. \end{aligned}\]

 


Teorema 2.

Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza e avente per un lato un diametro è rettangolo. In particolare, il diametro è l’ipotenusa e l’angolo che insiste sulla circonferenza è retto.

 


Svolgimento punto 1.

Ricordiamo che l’accelerazione normale alla traiettoria di un punto materiale è definita come segue

(1)   \begin{equation*} 		a_N =\dfrac{v^2}{R} 	\end{equation*}

dove v è il modulo della velocità del punto materiale. Siccome all’istante iniziale tutto è in quiete (v=0), risulta a_N=0. All’istante iniziale il corpo di massa m è soggetto alla sola forza peso m\vec{g} e alla reazione vincolare \vec{N}, generata dal contatto tra il punto materiale e la guida. Scegliamo un opportuno sistema di riferimento fisso Bnt, tangente e normale alla guida circolare, come rappresentato in figura 4.

   

Rendered by QuickLaTeX.com

    La reazione vincolare \vec{N} è normale alla guida, quindi l’unica forza che possiamo proiettare sull’asse tangente è m\vec{g}, cioè

(2)   \begin{equation*} 	mg \sin \theta_0 = ma_t(0), \end{equation*}

dove a_t(0) è l’accelerazione tangenziale alla guida all’istante t=0, dunque

(3)   \begin{equation*} \boxed{	a_t(0)= g\sin\theta_0.} 	\end{equation*}

Per t>0 il corpo comincia a muoversi perché soggetto alla forza peso e viene rallentato dalla forza della molla che spostandosi dalla posizione di riposo e cominciandosi ad allungare frena il corpo opponendosi all’azione della forza peso.\\ Quando il corpo arriva in C la somma delle forze lungo l’asse tangente risulta nulla, poiché tutte le forze puntano nella direzione normale alla guida, quindi l’accelerazione tangenziale in C vale a_t=0.\\ Indiciamo \ell_0 la lunghezza a riposo della molla. Osserviamo che su m agiscono solo forze conservative, quindi possiamo imporre la conservazione dell’energia considerando l’istante t=0 e t=t^\star>0 in cui il corpo m si trova in C, cioè

(4)   \begin{equation*} 	K_f+U_f=K_i+U_i, 	\end{equation*}

dove

(5)   \begin{equation*} K_f=\frac{1}{2}mv^2_f 	\end{equation*}

è l’energia cinetica finale con v_f=v_C velocità finale di m quando si trova in C,

(6)   \begin{equation*} U_f=mgh_f+\frac{1}{2}k(\ell_f-\ell_0)^2+\text{costante} 	 \end{equation*}

è l’energia potenziale finale di m con h_f la quota finale e \ell_f la lunghezza della molla quando m si trova in C,

(7)   \begin{equation*} K_i=\frac{1}{2}mv^2_i 	  \end{equation*}

è l’energia cinetica iniziale di m con v_i velocità iniziale di m quando si trova in B ed infine

(8)   \begin{equation*} U_i=mgh_i+\text{costante} 	   \end{equation*}

è l’energia potenziale iniziale di m con h_i quota iniziale. Si osservi che nella precedente equazione non è presente il contributo dell’energia potenziale della molla dato che in B è a riposo.   Consideriamo la figura 5, rappresenta di seguito.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Applicando il Teorema 1 al triangolo ABC (si veda la figura 5 ) possiamo scrivere

(9)   \begin{equation*} 	\ell_0=2R\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right). 	\end{equation*}

Scegliamo ora un sistema di riferimento fisso Oxy con l’origine coincidente con C, l’asse y coincidente con il diametro verticale della circonferenza e l’asse x orientato positivamente verso destra come in figura 6 di seguito rappresentata.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Avendo scelto la quota y=0 in corrispondenza del punto C si ha

(10)   \begin{equation*} 	h_f=0. 	\end{equation*}

Dalla figura 6 si deduce che

(11)   \begin{equation*} 	h_i=R(1-\cos \theta_0). 	\end{equation*}

Essendo \ell_f la lunghezza finale della molla, risulta \ell_f=2R, dunque dalla (9) otteniamo

    \[\ell_f-\ell_0=2R-2R\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)=2R\left(1-\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right).\]

Inoltre, poiché all’istante iniziale è tutto in quiete, allora v_i=0. Avvalendoci di quanto detto detto fino ad ora, possiamo riscrivere (6) e (8) come di seguito

(12)   \begin{equation*} U_i=mgh_i=mgR(1-\cos \theta_0) \end{equation*}

e

(13)   \begin{equation*} U_f=\dfrac{1}{2}k(\ell_f-\ell_0)^2=\dfrac{1}{2}k\left(2R\left(1-\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right) \right)\right)^2. \end{equation*}

Sfruttando le due precedenti equazioni e l’equazione (5) si ha che l’equazione (4) diventa

(14)   \begin{equation*} 	K_f+U_f=K_i+U_i\quad \Leftrightarrow\quad  \dfrac{1}{2}mv^2_C+\dfrac{1}{2}k\left(2R\left(1-\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)\right)^2=mgR(1-\cos \theta_0), \end{equation*}

oppure

(15)   \begin{equation*} 	\dfrac{1}{2}mv_C^2 = mgR(1-\cos \theta_0)-\dfrac{1}{2}k \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2, \end{equation*}

da cui

(16)   \begin{equation*} 	v_C^2 = \dfrac{2}{m} \, \left( mgR(1-\cos \theta_0) - \dfrac{1}{2}k \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right), 	\end{equation*}

ne segue che l’accelerazione centripeta in C è

    \[\boxcolorato{fisica}{			a_N = \dfrac{v_C^2}{R}= \dfrac{2}{mR} \, \left( mgR(1-\cos \theta_0) - \dfrac{1}{2}k \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right).}\]

  


Svolgimento punto 2.

Sia k^* la nuova costante della molla da determinare. La somma delle forze lungo un asse coincidente con la normale alla guida quando m si trova in C è data da

(17)   \begin{equation*} 	N-mg +k^* \Delta r= m \dfrac{v_C^2}{R}, 	\end{equation*}

dove \Delta r = 2R-2R \cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right).\\ Imponendo N=0 come richiesto, la precedente equazione diventa

(18)   \begin{equation*} 	-mg +k^* \left(2R-2R \cos\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\right)= m \dfrac{v_C^2}{R}. 	\end{equation*}

Dall’equazione \eqref{16} abbiamo

(19)   \begin{equation*} 	v_C^2 =\dfrac{2}{m} \, \left( mg\left(2R-(R+R\cos\theta_0)\right) - \dfrac{1}{2}k^* \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right). 	\end{equation*}

Si osservi che nell’equazione del punto precedente (che nel punto 2 è l’equazione (??)) si è sostituito k con k^\star. Mettiamo a sistema (18) e (19) ottenendo

(20)   \begin{equation*} 	\begin{cases} -mg +k^* \left(2R-2R \cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)= m \dfrac{v_C^2}{R}\\[10pt] v_C^2 =\dfrac{2}{m} \, \left( mg\left(2R-(R+R\cos\theta_0)\right) - \dfrac{1}{2}k^* \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right). \end{cases} 	\end{equation*}

Dal precedente sistema si ha

(21)   \begin{equation*} 	-mg + k^*\left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right) = \dfrac{2}{R}\left( mg\left(2R-(R+R\cos\theta_0)\right) - \dfrac{1}{2}k^* \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right). \end{equation*}

Grazie a semplici passaggi algebrici la precedente equazione ci fornisce

(22)   \begin{equation*} k^* = \dfrac{mg(3-2\cos\theta_0)}{2R\left(1-\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)\left(3-2\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)}. 	\end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{			k^* = \dfrac{mg(3-2\cos\theta_0)}{2R\left(1-\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)\left(3-2\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)}.}\]