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Lavoro ed energia: esercizio 74

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 74

Esercizio lavoro ed energia 74

L’esercizio 75 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 73 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 75. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 74

Esercizio 74 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo A di massa m_A = 2 kg è collegato tramite una fune inestensibile di massa trascurabile, di lunghezza 2\ell = 4 m, ad un corpo B di massa m_B = 3 kg tramite una carrucola O. Tra filo e carrucola non è presente attrito. Inizialmente il corpo B è appoggiato su un piano orizzontale ed il tratto di filo OB è verticale, mentre il corpo A, in quiete, è tenuto col tratto di filo OA teso ed orizzontale, come illustrato in figura 1. Finché il corpo B rimane a contatto con il piano orizzontale vale \overline{OA} = \overline{OB} = \ell. Ad un certo istante si lascia libero il corpo A. Si determini di quanto si abbassa il corpo A, in verticale, prima che il corpo B si stacchi dal piano d’appoggio.

 

 

 

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Svolgimento metodo 1.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso O'xy, in modo tale che l’origine O' sia alla stessa quota del tratto di filo OA all’istante di tempo t=0. Al tempo t=0 la configurazione fisica è rappresentata in figura 1, mentre ad un tempo generico t>0 il corpo A è libero di cadere per effetto della forza peso, mentre il corpo B rimane fermo, come illustrato in figura 2. Sul corpo A agisce la forza peso \vec{P}_A e la tensione \vec{T}_A, sul corpo B agisce la forza peso \vec{P}_B, la reazione normale esercitata dal contatto col piano orizzontale \vec{R}_B e la tensione della fune \vec{T}_B, mentre sulla carrucola agiscono le due tensioni opposte -\vec{T}_A e -\vec{T}_B perché il filo ha massa trascurabile e una reazione vincolare \vec{R} che si oppone alle due tensioni. La configurazione fisica a t>0 prima che il corpo B si stacchi dal piano d’appoggio, è rappresentata in figura 2.

   

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Schema del sistema di riferimento e delle forze agenti in un problema di lavoro ed energia su due corpi collegati da una fune attraverso una carrucola.

    Scriviamo la seconda legge della dinamica per i due corpi A e B nel sistema di riferimento O'xy, che sono rispettivamente

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{P}_A + \vec{T}_A = m_A\vec{a}_A\\ \vec{P}_B + \vec{R}_B + \vec{T}_B = \vec{0}, \end{cases} \end{equation*}

dove \vec{a}_A è l’accelerazione del corpo di massa m_A, mentre la seconda equazione è stato posta a zero perché il corpo B è in quiete. Fintanto che il corpo B rimane a contatto col piano d’appoggio la lunghezza del filo nel tratto OA e OB rimarrà pari ad \ell, pertanto il moto del corpo A è circolare e la sua accelerazione \vec{a}_A può essere riscritta come

(2)   \begin{equation*} \vec{a}_A = \dfrac{v_A^2}{\ell}\,\hat{n}+\alpha \ell\, \hat{t}, \end{equation*}

dove v_A è il modulo della sua velocità \vec{v}_A, \alpha è la sua accelerazione angolare, mentre \hat{n} e \hat{t} sono rispettivamente il versore normale alla traiettoria e il versore tangente alla traiettoria. Dato che tra filo e carrucola non è presente attrito le due tensioni \vec{T}_A e \vec{T}_B devono essere uguali in modulo T_A = T_B = T. Avvalendoci del fatto che le tensioni agenti sui due fili sono uguali in modulo possiamo riscrivere, utilizzando i moduli delle forze, la seconda equazione del sistema (1) come segue

(3)   \begin{equation*} T + R_B = P_B, \end{equation*}

dove R_B e P_B sono rispettivamente le componenti della reazione vincolare \vec{R}_B lungo l’asse delle y e della forza peso \vec{P}_B lungo l’asse delle y. All’istante t>0 in cui il corpo B si stacca dal piano d’appoggio si verifica che la reazione normale R_B si annulla, pertanto la precedente equazione diventa

(4)   \begin{equation*} T = P_B = m_B g, \end{equation*}

dove g è il modulo dell’accelerazione di gravità. Indichiamo con \theta l’angolo percorso dal corpo A durante il suo moto circolare, come rappresentato in figura 3. Riscriviamo la seconda legge della dinamica per il corpo A all’istante in cui T = m_Bg, ovvero all’istante in cui il corpo B si stacca dal piano d’appoggio, proiettando le forze agenti su A nella direzione normale alla traiettoria (la cui direzione e verso è rappresentata dal versore \hat{n}) che collega il corpo A alla carrucola, come descritto in figura 3. La prima equazione del sistema (1) nella direzione normale alla traiettoria di A si riscrive come segue

(5)   \begin{equation*} T - m_A g\sin\theta = m_Bg-m_A g \sin\theta=m_A \dfrac{v_A^2}{\ell}, \end{equation*}

dove abbiamo usato le equazioni (2) e (3).

   

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Schema delle forze agenti in un problema di lavoro ed energia sul corpo A, mostrando la tensione nella fune e la forza peso rispetto alla carrucola.     Grazie al teorema delle forze vive possiamo calcolare il modulo v_A della velocità \vec{v}_A. L’unica forza che svolge lavoro sul corpo A è la forza peso, poiché la forza di tensione \vec{T} è sempre perpendicolare al moto e quindi fa lavoro nullo. All’istante t=0 il corpo A si trova ad un’altezza y=0 con un’energia potenziale gravitazionale iniziale pari ad

(6)   \begin{equation*} U_{P_A,i} = mgy + \text{costante} = \text{costante}. \end{equation*}

Il corpo A per raggiungere la velocità v_A è sceso di \ell \sin \theta (come raffigurato in figura 3), in tale istante avremo che l’energia potenziale gravitazionale finale è

(7)   \begin{equation*} U_{P_A,f} = -mg\ell \sin \theta + \text{costante}. \end{equation*}

L’opposto della variazione di energia potenziale gravitazionale è pari al lavoro della forza peso sul corpo A

(8)   \begin{equation*} W_{P_A} = U_{P_A,i}-U_{P_A, f} = m_Ag\ell \sin \theta. \end{equation*}

All’istante t=0 il corpo A è fermo (energia cinetica iniziale nulla K_i = 0), mentre nello stato finale la sua energia cinetica è pari a

(9)   \begin{equation*} K_{f} = {1\over 2}m_Av_A^2. \end{equation*}

Applicando il teorema delle forze vive otteniamo

(10)   \begin{equation*} K_f - K_i = {1\over 2}m_Av_A^2 = W_{P_A} = m_A g \ell \sin \theta, \end{equation*}

dunque la velocità del corpo A all’istante in qui il corpo B si stacca dal piano d’appoggio è pari a

(11)   \begin{equation*} v_A = \sqrt{2 g \ell \sin \theta}. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione scritta precedentemente con l’equazione (5) si ottiene

(12)   \begin{equation*} \cancel{g}(m_B -m_A \sin \theta) = m_A \dfrac{2\cancel{g} \cancel{\ell} \sin \theta}{\cancel{\ell}}, \end{equation*}

da qui si ricava il seno dell’angolo \theta

(13)   \begin{equation*} \sin\theta = \dfrac{m_B}{3 m_A}. \end{equation*}

Il corpo A si trova nella posizione y = -\ell \sin\theta prima che il corpo B si stacchi da terra, pertanto la soluzione del problema è il seguente spostamento

    \[\boxcolorato{fisica}{h = \ell \sin \theta = \dfrac{m_B}{3m_A}\ell = 1\,\text{m},}\]

dove nell’ultimo passaggio sono stati sostituiti i dati numerici del problema.

Svolgimento metodo 2.

L’unica forza che svolge lavoro sul corpo A è la forza peso. Essa è una forza conservativa pertanto l’energia meccanica del corpo A si conserva. L’energia meccanica iniziale E_i del corpo A è pari a

(14)   \begin{equation*} E_i = U_{P_A, i} + K_i = \text{costante}, \end{equation*}

mentre l’energia meccanica finale è pari a

(15)   \begin{equation*} E_i = U_{P_A, f} + K_f = -mg\ell \sin \theta + \text{costante} +{1\over 2}m_Av_A^2 . \end{equation*}

Applicando la conservazione dell’energia meccanica E_i = E_f sfruttando le due precedenti equazioni si ha

(16)   \begin{equation*} {1\over 2}m_Av_A^2-mg\ell \sin \theta=0, \end{equation*}

da cui si ricava la velocità come nell’equazione (11). Una volta calcolata la velocità v_A lo svolgimento per arrivare alla soluzione è lo stesso del primo metodo.


 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

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    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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