Lavoro ed energia: esercizio 77

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio lavoro ed energia 77

L’esercizio 77 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 76 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 78. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo lavoro ed energia 77

Esercizio 77 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale di massa $m$ viene lanciato con velocità $\vec{v}_0$ dalla sommità di un piano inclinato fisso con angolo $\alpha$ rispetto all’orizzontale, come rappresentato in figura 1. La velocità $\vec{v}_0$ è diretta parallelamente al piano inclinato.

Se tra punto materiale e piano si sviluppa un attrito dinamico con coefficiente pari a $\mu_d$ costante, trovare sotto quale condizione il punto materiale $m$ si ferma.
A che distanza dalla sommità del piano inclinato il punto materiale si ferma?
Quanto spazio deve percorrere $m$ prima di raggiungere la velocità massima lungo il piano inclinato?
Quanto spazio deve percorrere $m$ affinché l’energia totale iniziale sia dimezzata?
Rispondere alle precedenti domande supponendo che il coefficiente di attrito dinamico cresca linearmente con la legge $\mu_d=kx$ con $k$ costante, con unità di misura è $\text{m}^{-1}$ , dove $x$ è la posizione lungo l’asse delle $x$ di un sistema di riferimento fisso $Ox$ tale per cui l’asse delle $x$ sia coincidente con il piano inclinato e avente origine $O$ all’apice del piano inclinato.

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Lavoro ed energia: Diagramma che mostra un punto materiale di massa m lanciato lungo un piano inclinato con un angolo α rispetto all'orizzontale, evidenziando il problema di fisica associato al moto sul piano inclinato.

Svolgimento punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento $Ox$ con asse $x$ coincidente con l’ipotenusa del piano inclinato e orientato come in figura 2.

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Lavoro ed energia: Rappresentazione del sistema di riferimento con asse x coincidente con l'ipotenusa del piano inclinato, utilizzato per risolvere il problema di fisica.

Dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(1) $\begin{equation*} mg\sin \alpha -\mu_d mg\cos\alpha =ma, \end{equation*}$

dove $mg\sin \alpha$ è la proiezione della forza peso lungo l’asse delle $x$ , $\mu mg\cos\alpha$ è il modulo della forza di attrito dinamico e $a$ è l’accelerazione di $m$ lungo l’asse delle $x$ . Chiaramente $a<0$ perché altrimenti non decelererebbe e quindi affinché risulti l’accelerazione negativa deve valere

(2) $\begin{equation*} \mu_d g\cos\alpha >g\sin\alpha, \end{equation*}$

ovvero

$\boxcolorato{fisica}{\mu_d>\tan \alpha. }$

Svolgimento punto 2.

Per rispondere alla seconda domanda del problema, ovvero a che distanza si ferma il punto materiale lungo il piano inclinato , applichiamo il teorema delle forze vive. Indichiamo con $x$ la generica posizione di $m$ lungo l’asse delle $x$ . Per il teorema delle forze vive abbiamo

(3) $\begin{equation*} -mgx\sin\alpha+\dfrac{1}{2}mv^2(x)=\dfrac{1}{2}mv_0^2-\mu_d mgx\cos\alpha, \end{equation*}$

ovvero

(4) $\begin{equation*} v^2(x)=v_0^2+2xg(\sin\alpha-\mu_d\cos\alpha). \end{equation*}$

Imponendo $v(x)=0$ la precedente equazione diventa

(5) $\begin{equation*} v_0^2+2xg(\sin\alpha-\mu_d\cos\alpha)=0, \end{equation*}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{ x=\dfrac{v_0^2}{g(\mu_d\cos\alpha-\sin\alpha)}.}$

Svolgimento punto 3.

Essendo un moto rettilineo uniformemente decelerato, la velocità diminuirà con il passare del tempo e quindi la velocità sarà massima per $x=0$ .

Svolgimento punto 4.

Infine, l’energia meccanica sarà ridotta a metà quando l’energia dissipata per attrito sarà metà di quella iniziale, ovvero

(6) $\begin{equation*} \mu_d mgx\cos\alpha =\dfrac{1}{4}mv_0^2 , \end{equation*}$

o anche

$\boxcolorato{fisica}{ x=\dfrac{v_0^2}{4\mu_d g\cos\alpha}.}$

Svolgimento punto 5.

La condizione affinché il punto si fermi è uguale al punto 1 del problema, ovvero che valga $\mu_d>\tan \alpha$ . Per rispondere alla seconda domanda, cioè a quale $x$ si ferma, applichiamo di nuovo il teorema delle forze vive. Questa volta $\mu$ dipende da $x$ , quindi il lavoro della forza di attrito $W_A$ va calcolato come segue

(7) $\begin{equation*} \begin{aligned} & W_A=-\int_0^{x_M}F_a dx=-\int_0^{x_M} mg\mu\cos\alpha \; dx \overset{\clubsuit}{=} -mg k \cos \alpha\int_0^{x_M} x \; \; dx=\\ & = -mgk\cos \alpha\,\dfrac{x^2}{2} \bigg\vert_0^{x_M}=-\dfrac{1}{2}mgk\cos\alpha \; x_M^2, \end{aligned} \end{equation*}$

dove $x_M$ è la distanza rispetto al sistema di riferimento $Ox$ dove $m$ si ferma e in $\clubsuit$ abbiamo usato il fatto che $\mu=kx$ . Applichiamo il teorema delle forze vive imponendo che $v(x_M)=0$ ottenendo

(8) $\begin{equation*} -mgx_M\sin\alpha =\dfrac{1}{2}mv_0^2-\dfrac{1}{2} mgkx_M^2\cos\alpha, \end{equation*}$

ovvero

(9) $\begin{equation*} -x_M^2gk\cos\alpha+2gx_M\sin\alpha+v_0^2 =0. \end{equation*}$

La precedente equazione ha soluzioni

(10) $\begin{equation*} x_{M_{1,2}}=\dfrac{-2g\sin\alpha\pm\sqrt{4g^2\sin^2\alpha+4gkv_0^2\cos\alpha}}{-2gk\cos\alpha}. \end{equation*}$

Per il sistema di riferimento scelto deve valere $x_M>0$ , quindi prendiamo solo la soluzione positiva, cioè

(11) $\begin{equation*} x_{M_{2}}=x_{M}=\dfrac{2g\sin \alpha+\sqrt{4g^2\sin^2\alpha+4gkv_0^2\cos\alpha}}{2gk\cos\alpha}. \end{equation*}$

Applichiamo il teorema delle forze vive ad $m$ in un generico istante $t>0,$ cioè

(12) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2\left(x\right)-mgx\sin\alpha =\dfrac{1}{2}mv_0^2-\dfrac{1}{2} mgkx^2\cos\alpha, \end{equation*}$

ovvero

(13) $\begin{equation*} v^2(x)=v_0^2+2gx\sin \alpha-mgkx^2\cos\alpha \end{equation*}$

in altri termini

(14) $\begin{equation*} v(x)=\sqrt{v_0^2+2gx\sin \alpha-gkx^2\cos\alpha}. \end{equation*}$

Deriviamo ambo i membri della precedente equazione rispetto alla variabile $x$ , dopo di che imponiamo quanto ottenuto pari a zero, i.e.

(15) $\begin{equation*} \dfrac{dv(x)}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{v_0^2+2gx\sin\alpha-gkx^2\cos\alpha }}2(g\sin\alpha-gkx\cos\alpha )=0, \end{equation*}$

cioè per $x=\tan \alpha/k$ . Pertanto la posizione di $m$ dove la velocità è massima è per $x=\tan \alpha/k$ . Quello che succede da un punto di vista della dinamica è questo: la proiezione della forza peso sul piano inclinato $mg\sin \alpha$ è opposta alla forza di attrito $mgx k\cos \alpha$ che cresce linearmente in funzione della distanza $x$ da $O$ . Dunque si ha

(16) $\begin{equation*} mg\sin \alpha>kmgx\cos \alpha \quad \text{per}\,\, 0\leq x<\dfrac{\tan \alpha}{k} \end{equation*}$

e quindi in questo tratto $m$ continua ad accelerare fino a raggiungere la velocità massima, per $x=\tan\alpha/k$ le due forze sono uguali e per $x>\tan\alpha/k$ si inverte il verso della dell’accelerazione. Infine il punto $\tilde{x}$ dove l’energia rimasta è la metà di quella iniziale è dato da

(17) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\dfrac{1}{2}mg\cos\alpha\, \tilde{x}^2=\dfrac{1}{4}mv_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad \tilde{x}=\sqrt{\dfrac{v_0^2}{2g\cos\alpha}}=\dfrac{v_0}{\sqrt{2g\cos\alpha}}. \end{aligned} \end{equation*}$

Rappresentiamo un grafico qualitativo della velocità nel caso 1,2,3 e 4.

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Figura 3: grafico qualitativo della velocità del punto materiale nei casi 1, 2, 3 e 4, mostrando la decrescita della velocità lungo il piano inclinato fino alla fermata.

Lavoro ed energia: Grafico qualitativo della velocità del punto materiale nei casi 1, 2, 3 e 4, mostrando la decrescita della velocità lungo il piano inclinato fino alla fermata.

Rappresentiamo un grafico qualitativo della velocità nel caso 5.

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Figura 4: grafico qualitativo della velocità nel caso 5, con un coefficiente di attrito dinamico variabile, mostrando la crescita iniziale della velocità fino a un massimo e poi la decrescita.

Lavoro ed energia: Grafico qualitativo della velocità nel caso 5, con un coefficiente di attrito dinamico variabile, mostrando la crescita iniziale della velocità fino a un massimo e poi la decrescita.

Esercizi di Meccanica classica

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Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
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Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.

Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

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Diego Aracri

2024-07-09

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

2024-06-20

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martina toro

2024-06-13

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Ugo Cozzi

2024-06-02

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antonio elia

2024-05-29

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