Esercizio lavoro ed energia 71

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 71 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale di massa incognita è sospeso tramite un filo verificale ed è collegato al suolo da una molla di costante elastica $k$ . La molla è inizialmente a riposo. Sia $T$ la tensione del filo. Calcolare

la massa del punto in funzione di $T$ e $g$ .

Ad un certo istante si taglia il filo, calcolare:

la massima distanza percorsa dal punto in funzione di $T$ e $k$ ;
la posizione in cui la velocità è massima in funzione di $T$ e $k$ ;
il valore massimo della sua velocità in funzione di $T$ , $k$ e $g$ .

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Svolgimento. Punto 1. Il sistema fisico in esame è fatto in maniera tale che il corpo sia vincolato a muoversi verticalmente rispetto al suolo. Dunque, a tal proposito, è comodo scegliere un sistema di riferimento cartesiano fisso $Oy$ con l’origine $O$ in corrispondenza della posizione iniziale del corpo prima che il filo sia tagliato, ed orientato come in figura 2. Sul corpo agiscono la forza peso $m\vec{g}$ e la tensione del filo $\vec{T}$ , orientate come in figura 2. Osserviamo che, poiché nella configurazione d’equilibrio la molla è a riposo, essa non esercita nessuna forza sul corpo di massa $m$ , di conseguenza per questo primo punto non ne teniamo conto.

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Per il secondo principio della dinamica per il corpo di massa $m$ all’equilibrio, si ha

(1) $\begin{equation*} T-mg=0, \end{equation*}$

da cui otteniamo che la massa del corpo è data da

$\boxcolorato{fisica}{ m=\dfrac{T}{g}.}$

Punto 2. Per calcolare la massima distanza percorsa dal corpo di massa $m$ possiamo sfruttare il teorema delle forze vive. Esso asserisce che il lavoro totale $L$ compiuto dal risultante delle forze sul corpo $m$ per portare quest’ultimo da una configurazione iniziale ad una configurazione finale, è pari alla variazione di energia cinetica $\Delta K$ del corpo durante tale intervallo temporale, ossia

(2) $\begin{equation*} L=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2, \end{equation*}$

dove abbiamo indicato con $v_i$ e $v_f$ la velocità iniziale e finale del corpo rispettivamente
Nel momento in cui viene tagliato il filo, sul corpo $m$ agiscono la forza peso $m\vec{g}$ e la forza elastica $\vec{f}_{\text{el}}$ , per cui il lavoro totale $L$ è dato da

(3) $\begin{equation*} L=L_{\text{peso}}+L_{\text{el}}, \end{equation*}$

dove $L_{\text{peso}}$ e $L_{\text{el}}$ rappresentano il lavoro compiuto dalla forza peso e dalla forza elastica rispettivamente.
Dalle equazioni (2) e (3), ricaviamo che in generale vale

(4) $\begin{equation*} L_{\text{peso}}+L_{\text{el}}=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2. \end{equation*}$

Consideriamo come configurazione iniziale quella in cui il corpo $m$ parte da fermo $v_i=0$ in corrispondenza dell’origine del riferimento $Oy$ precedentemente definito con la molla a riposo, come illustrato in figura 3. Inoltre, scegliamo la quota dell’origine $O$ come lo zero dell’energia potenziale gravitazionale. Consideriamo, invece, come configurazione finale quella in cui il corpo $m$ , una volta che il filo è stato tagliato, scende al di sotto dell’origine $O$ di una quantità $y_{\max}$ alla quale si arresta (ossia $v_f=0$ ), come illustrato in figura 3.

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In riferimento alle configurazioni iniziali e finali scelte, osserviamo che

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} v_i=0\\[10pt] v_f=0\\[10pt] L_{\text{peso}}=mgh_i-mgh_f=-mgy_{\max}\\[10pt] L_{\text{el}}=-\dfrac{1}{2}ky_{max}^2, \end{cases} \end{equation*}$

dove $h_i=0$ ed $h_f=y_{\max}$ rappresentano la posizione del corpo rispetto all’origine del riferimento $Oy$ rispettivamente nella configurazione iniziale e finale.
Inserendo i valori del sistema (5) nell’equazione (4), otteniamo

(6) $\begin{equation*} -mgy_{\max}-\dfrac{1}{2}ky_{\max}^2=0\quad\Leftrightarrow\quad -y_{max}\left(mg+\dfrac{1}{2}ky_{\max}\right)=0. \end{equation*}$

L’equazione (6) ammette due soluzioni, ossia

(7) $\begin{equation*} y_{\max,1}=0\quad\quad\vee\quad\quad y_{\max,2}=-\dfrac{2mg}{k}. \end{equation*}$

Osserviamo che dalle soluzioni appena ottenute possiamo dedurre che il corpo si muove di moto armonico tra $y=y_{\max,1}$ e $y=y_{\max,2}$ , punti nei quali la velocità si annulla.

Quindi la massima distanza $d_{\text{max}}$ percorsa dal punto è pari a

(8) $\begin{equation*} d_{\text{max}}=\left \vert y_{\max,2}\right \vert =\dfrac{2mg}{k}, \end{equation*}$

da cui, sostituendo il valore di $m$ ottenuto al punto 1 nella precedente equazione, otteniamo che

$\boxcolorato{fisica}{ d_{\text{max}}=\dfrac{2T}{k}.}$

Punto 3. Nel momento in cui il filo viene tagliato, il corpo di massa $m$ cade verso il basso sotto l’effetto della sua forza peso causando una compressione della molla. La quale a sua volta eserciterà su di esso una forza elastica. Rispetto al sistema di riferimento $Oy$ precedentemente definito, supponiamo che il corpo di massa $m$ sia sceso rispetto all’origine $O$ di una quantità $y$ (ossia $y<0$ ), come illustrato in figura 4. Sul corpo di massa $m$ agiscono la sua forza peso $m\vec{g}$ e la forza elastica $\vec{f}_{\text{el}}$ , orientate come in figura 4.

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Per il secondo principio della dinamica per il corpo di massa $m$ , si ha

(9) $\begin{equation*} f_{\text{el}}-mg=m\ddot{y}\quad\Leftrightarrow\quad -ky-mg=m\ddot{y}, \end{equation*}$

ossia

(10) $\begin{equation*} \ddot{y}=-\dfrac{k}{m}y-g. \end{equation*}$

La posizione $y=\tilde{y}$ in cui il corpo raggiunge la massima velocità è tale per cui esso ha accelerazione nulla (si ricordi che in un moto armonico la velocità massima si raggiunge quando l’accelerazione è nulla.), per cui dalla condizione

(11) $\begin{equation*} \ddot{y}=0, \end{equation*}$

usando l’equazione (10), otteniamo che

(12) $\begin{equation*} -\dfrac{k}{m}\tilde{y}-g=0, \end{equation*}$

da cui segue che la posizione in corrispondenza della velocità massima raggiunta dal corpo è pari a

(13) $\begin{equation*} \tilde{y}=-\dfrac{mg}{k}. \end{equation*}$

Sostituendo il valore di $m$ ottenuto nel punto 1 la precedente equazione diventa

$\boxcolorato{fisica}{ \tilde{y}=-\dfrac{T}{k}.}$

Punto 4. Per calcolare la massima velocità $v_{\max}$ raggiunta dal corpo utilizziamo lo stesso procedimento visto nel punto 2 con l’unica differenza che la configurazione finale adesso è quella per cui il corpo si trova ad una posizione $y=\tilde{y}$ con una velocità $v=v_{\max}$ che è la nostra incognita, come illustrato in figura 5.

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Analogamente a quanto fatto nel punto 2, in riferimento alle succitate configurazioni iniziali e finali, osserviamo che

(14) $\begin{equation*} \begin{cases} v_i=0\\[10pt] v_f=v_{\max}\\[10pt] L_{\text{peso}}=mgh_i-mgh_f=-mg\tilde{y}\\[10pt] L_{\text{el}}=-\dfrac{1}{2}k\tilde{y}^2, \end{cases} \end{equation*}$

dove $h_i=0$ ed $h_f=\tilde{y}$ rappresentano la posizione del corpo rispetto all’origine del riferimento $Oy$ rispettivamente nella configurazione iniziale e finale.
Inserendo i valori del sistema (14) nell’equazione (4), otteniamo

(15) $\begin{equation*} -mg\tilde{y}-\dfrac{1}{2}k\tilde{y}^2=\dfrac{1}{2}mv_{\max}^2\quad\Leftrightarrow\quad v_{max}=\left(\tilde{y}\left(-2g-\dfrac{k}{m}\tilde{y}\right)\right)^{1/2}\quad\Leftrightarrow\quad v_{\max}=\left(-\tilde{y}\left(2g+\dfrac{k}{m}\tilde{y}\right)\right)^{1/2} \end{equation*}$

conseguentemente sostituendo l’espressione di $m$ e $\tilde{y}$ calcolate rispettivamente al primo punto del problema e al terzo punto del problema nella precedente equazione, segue che

(16) $\begin{equation*} v_{\max}=\left(\dfrac{T}{k}\left(2g+k\,\dfrac{g}{T}\left(-\dfrac{T}{k}\right)\right)\right)^{1/2}, \end{equation*}$

ossia

$\boxcolorato{fisica}{ v_{\max}=\sqrt{\dfrac{Tg}{k}}.}$