Lavoro ed energia: esercizio 72

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio lavoro ed energia 72

L’esercizio 72 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 71 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 73. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo lavoro ed energia 72

Esercizio 72 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una molla di costante elastica $k$ e massa trascurabile é disposta orizzontalmente con una estremità fissa. All’altra estremità è colpita da un blocco di massa $m$ che la comprime di un tratto $\Delta x$ . Il blocco di massa $m$ è messo inizialmente in moto da una forza $\vec{F}$ che forma un angolo $\theta$ con l’orizzontale.
Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è $\mu_d$ tra il blocco e la superficie, calcolare

la velocità del blocco nell’instante in cui comincia a comprimere la molla in funzione di $\Delta x$ , $\mu_d$ , $m$ , $g$ e $k$ ;
il valore minimo $F_{\min}$ del modulo della forza $\vec{F}$ necessario per mettere in moto il corpo se il coefficiente di attrito statico fosse $\mu_s$ . Si esprima $F_{\min}$ in funzione di $\mu_s$ , $m$ , $g$ e $\theta$ .

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Svolgimento Punto 1.

Il teorema delle forze vive asserisce che il lavoro totale $L$ compiuto dalle forze agenti sul corpo di massa $m$ in un intervallo di tempo $[t_i,t_f]$ è pari alla variazione di energia cinetica $\Delta K$ , ossia

(1) $\begin{equation*} L=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2, \end{equation*}$

dove $v_i$ e $v_f$ rappresentano rispettivamente la velocità iniziale e finale del corpo negli istanti di tempo considerati (cioè $v_i\equiv v(t=t_i))$ e $v_f\equiv v(t=t_f)$ ). Definiamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ con l’origine $O$ in corrispondenza della posizione del corpo $m$ all’istante $t=t_i=0$ (cioè l’istante iniziale) ed orientato come in figura 2. Durante la fase di compressione della molla, sul corpo $m$ agiscono la forza peso $m\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}$ (entrambe non compiono lavoro perché istante per istante sono ortogonali alla direzione del moto), la forza di attrito dinamico $\vec{f}_d$ e la forza elastica $\vec{f}_{\text{el}}$ , orientate come in figura 2.

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Diagramma di corpo libero per un blocco di massa m che comprime una molla, mostrando le forze in gioco: forza elastica Fel, forza di attrito dinamico fd, forza peso mg e reazione vincolare N.

In virtù di ciò il lavoro totale $L$ fatto sul corpo $m$ è dato dalla somma del contributo dell’attrito $L_{\text{att}}$ e quello elastico $L_{\text{el}}$ , ossia

(2) $\begin{equation*} L=L_{\text{att}}+L_{\text{el}}. \end{equation*}$

Dalle equazioni (1) e (2) otteniamo che nel generico intervallo di tempo $[t_i,t_f]$ vale la seguente relazione

(3) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2=L_{\text{att}}+L_{\text{el}}. \end{equation*}$

Consideriamo come tempo iniziale $t_i$ , l’istante in cui il corpo è messo in moto dalla forza $\vec{F}$ con una velocità $v_i=v_0$ (come illustrato in figura 3), che è la nostra incognita. Consideriamo come tempo finale $t_f$ , l’istante in cui il corpo si arresta ( $v_f=0$ ) a causa della forza di attrito dinamico e della forza elastica, dopo aver compresso la molla di una quantità $\Delta x$ . \tikzset{every picture/.style={line width=0.75pt}} %set default line width to 0.75pt

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Illustrazione del sistema fisico nella configurazione iniziale e finale, mostrando la compressione della molla Δx e la velocità iniziale v0 del blocco di massa m.

In virtù di ciò l’equazione (3) diventa

(4) $\begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mv_0^2=L_{\text{att}}+L_{\text{el}}. \end{equation*}$

Per calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico utilizziamo il secondo principio della dinamica. In particolare, proiettando le forze lungo gli assi $x$ e $y$ (come illustrato in figura 2), abbiamo che

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} x: -f_d-f_{\text{el}}=ma\\ y:N-mg=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:-f_d-f_{\text{el}}=ma\\ y:N=mg, \end{cases} \end{equation*}$

dove $a$ è l’accelerazione del corpo di massa $m$ lungo l’asse delle $x$ . Si ricordi che per definizione il modulo della forza di attrito dinamico $f_d$ è pari a

(6) $\begin{equation*} f_d=\mu_d N=\mu_d mg, \end{equation*}$

dove abbiamo sfruttato l’espressione di $N$ ottenuta nella seconda equazione del sistema (5). Il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico è dato da

(7) $\begin{equation*} L_{\text{att}}=-f_d\Delta x, \end{equation*}$

dove $\Delta x$ rappresenta lo spazio percorso dal corpo prima di arrestarsi (ossia la compressione della molla). Sostituendo nell’equazione (7) l’espressione di $f_d$ appena ottenuta (eq.(6)), si ha che il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico è pari a

(8) $\begin{equation*} L_{\text{att}}=-\mu_dmg\Delta x. \end{equation*}$

Il lavoro compiuto dalla molla quando essa è compressa di $\Delta x$ dal corpo $m$ è dato da

(9) $\begin{equation*} L_{\text{molla}}=-\dfrac{1}{2}k\left(\Delta x\right)^2. \end{equation*}$

Sostituendo le espressioni di $L_{\text{att}}$ ed $L_{\text{el}}$ ottenute nell’equazioni (8) e (9) rispettivamente, l’equazione (4) diventa

(10) $\begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mv_0^2=-\mu_dmg\Delta x-\dfrac{1}{2}k\left(\Delta x\right)^2, \end{equation*}$

ovvero

(11) $\begin{equation*} mv_0^2=2\mu_dmg\Delta x+k\left(\Delta x\right)^2K; \end{equation*}$

da cui esplicitando rispetto all’incognita $v_0$ , otteniamo che la velocità iniziale del corpo di massa $m$ è

$\boxcolorato{fisica}{v_0=\sqrt{\dfrac{\Delta x(2\mu_dmg+k\Delta x)}{m}}.}$

Osserviamo che il risultato appena ottenuto è fisicamente accettabile per qualunque valore numerico di $\Delta x$ , $\mu_d$ , $m$ , $g$ e $k$ , essendo il radicando sempre positivo.

Svolgimento Punto 2.

Per calcolare il minimo valore $F_{min}$ della forza $\vec{F}$ tale per cui il corpo è messo in moto il corpo di massa $m$ , definiamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ con l’origine $O$ in corrispondenza della posizione iniziale del corpo (ossia prima che questo toccasse la molla), come illustrato in figura 4. Sul corpo $m$ agiscono la forza peso $m\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}$ , la forza di attrito statico $\vec{f}_a$ e la forza $\vec{F}$ , orientate come in figura 4.

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Diagramma di corpo libero per un blocco di massa m che subisce una forza F inclinata di un angolo θ, mostrando le forze in gioco tra cui forza di attrito statico fs e reazione vincolare N.

Per il secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi $x$ e $y$ , supponendo che il corpo sia inizialmente in quiete

(12) $\begin{equation*} \begin{cases} x: F\cos\theta-f_a=0\\ y:N+F\sin\theta-mg=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:f_a=F\cos\theta\\ y:N=mg-F\sin\theta. \end{cases} \end{equation*}$

Per calcolare il minimo valore del modulo di $F$ tale per cui il corpo $m$ comincia a muoversi, osserviamo che

(13) $\begin{equation*} f_a\leq f_{a,\text{max}}=\mu_s N=\mu_s(mg-F\sin\theta), \end{equation*}$

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la seconda equazione del sistema (12). Utilizzando la prima equazione del sistema (12), la condizione data dall’equazione (13) diventa

(14) $\begin{equation*} F\cos\theta\leq \mu_s(mg-F\sin\theta), \end{equation*}$

ovvero

(15) $\begin{equation*} F(\cos\theta+\mu_s\sin\theta)\leq \mu_smg\quad\Leftrightarrow\quad F\leq \dfrac{\mu_s mg}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}. \end{equation*}$

Dall’equazione (15) ricaviamo che il minimo valore $F_{\min}$ del modulo della forza $\vec{F}$ affinché il corpo $m$ vinca la resistenza dell’attrito statico e si metta in moto è pari a

$\boxcolorato{fisica}{F_{\min}=\dfrac{\mu_s mg}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}.}$

Approfondimento.

Riportiamo in figura 5 il grafico di $F_{\min}$ in funzione dell’angolo $\theta\in[0,\pi/2]$ avendo arbitrariamente fissato $m=1\,\text{kg}$ e $\mu_s=\text{0,5}$ . Come si può osservare, in accordo con quanto ci si aspetta intuitivamente, complessivamente al crescere di $\theta$ è necessaria una maggiore forza $F_{\min}$ per mettere in moto il corpo.

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Tuttavia è interessante notare come l’angolo che minimizza lo “sforzo” per mettere in moto il corpo non sia $\theta=0$ , ossia quando la forza $\vec{F}$ è direttamente parallelamente al piano orizzontale. Infatti ponendo

(16) $\begin{equation*} \dfrac{d}{d\theta}(F_{\min}(\theta))=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{\mu_s mg}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}\right)=0, \end{equation*}$

si ha che

(17) $\begin{equation*} \mu_smg\left(\dfrac{-(-\sin\theta+\mu_s\cos\theta)}{(\cos\theta+\mu_s\sin\theta)^2}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad -\mu_s mg\left(\dfrac{\mu_s\cos\theta-\sin\theta}{(\cos\theta+\mu_s\sin\theta)^2}\right)=0, \end{equation*}$

da cui

(18) $\begin{equation*} \mu_s\cos\theta-\sin\theta=0\quad\Leftrightarrow\quad \mu_s-\tan\theta=0\quad\Leftrightarrow\quad \theta=\arctan(\mu_s). \end{equation*}$

Quindi deduciamo che l’angolo $\theta_{min}$ che minimizza la forza minima $F_{\min}$ necessaria per mettere in moto il corpo $m$ è pari a

(19) $\begin{equation*} \boxed{\theta_{\min}=\arctan(\mu_s).} \end{equation*}$

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Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.

Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.

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