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Esercizio 72  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una molla di costante elastica k e massa trascurabile é disposta orizzontalmente con una estremità fissa. All’altra estremità è colpita da un blocco di massa m che la comprime di un tratto \Delta x. Il blocco di massa m è messo inizialmente in moto da una forza \vec{F} che forma un angolo \theta con l’orizzontale.
Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è \mu_d tra il blocco e la superficie, calcolare

  1. la velocità del blocco nell’instante in cui comincia a comprimere la molla in funzione di \Delta x, \mu_d, m, g e k;
  2. il valore minimo F_{\min} del modulo della forza \vec{F} necessario per mettere in moto il corpo se il coefficiente di attrito statico fosse \mu_s. Si esprima F_{\min} in funzione di \mu_s, m, g e \theta.

 

 

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Svolgimento Punto 1.

Il teorema delle forze vive asserisce che il lavoro totale L compiuto dalle forze agenti sul corpo di massa m in un intervallo di tempo [t_i,t_f] è pari alla variazione di energia cinetica \Delta K, ossia

(1)   \begin{equation*} 		L=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2, 	\end{equation*}

dove v_i e v_f rappresentano rispettivamente la velocità iniziale e finale del corpo negli istanti di tempo considerati (cioè v_i\equiv v(t=t_i)) e v_f\equiv v(t=t_f)). Definiamo un sistema di riferimento fisso Oxy con l’origine O in corrispondenza della posizione del corpo m all’istante t=t_i=0 (cioè l’istante iniziale) ed orientato come in figura 2. Durante la fase di compressione della molla, sul corpo m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} (entrambe non compiono lavoro perché istante per istante sono ortogonali alla direzione del moto), la forza di attrito dinamico \vec{f}_d e la forza elastica \vec{f}_{\text{el}}, orientate come in figura 2.    

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In virtù di ciò il lavoro totale L fatto sul corpo m è dato dalla somma del contributo dell’attrito L_{\text{att}} e quello elastico L_{\text{el}}, ossia

(2)   \begin{equation*} 		L=L_{\text{att}}+L_{\text{el}}. 	\end{equation*}

Dalle equazioni (1) e (2) otteniamo che nel generico intervallo di tempo [t_i,t_f] vale la seguente relazione

(3)   \begin{equation*} 		\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2=L_{\text{att}}+L_{\text{el}}. 	\end{equation*}

Consideriamo come tempo iniziale t_i, l’istante in cui il corpo è messo in moto dalla forza \vec{F} con una velocità v_i=v_0 (come illustrato in figura 3), che è la nostra incognita. Consideriamo come tempo finale t_f, l’istante in cui il corpo si arresta (v_f=0) a causa della forza di attrito dinamico e della forza elastica, dopo aver compresso la molla di una quantità \Delta x.     \tikzset{every picture/.style={line width=0.75pt}} %set default line width to 0.75pt

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    In virtù di ciò l’equazione (3) diventa

(4)   \begin{equation*} 		-\dfrac{1}{2}mv_0^2=L_{\text{att}}+L_{\text{el}}. 	\end{equation*}

Per calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico utilizziamo il secondo principio della dinamica. In particolare, proiettando le forze lungo gli assi x e y (come illustrato in figura 2), abbiamo che

(5)   \begin{equation*} 		\begin{cases} 			x: -f_d-f_{\text{el}}=ma\\ 			y:N-mg=0 		\end{cases} 		\Leftrightarrow\quad 		\begin{cases} 			x:-f_d-f_{\text{el}}=ma\\ 			y:N=mg, 		\end{cases} 	\end{equation*}

dove a è l’accelerazione del corpo di massa m lungo l’asse delle x. Si ricordi che per definizione il modulo della forza di attrito dinamico f_d è pari a

(6)   \begin{equation*} 		f_d=\mu_d N=\mu_d mg, 	\end{equation*}

dove abbiamo sfruttato l’espressione di N ottenuta nella seconda equazione del sistema (5). Il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico è dato da

(7)   \begin{equation*} 		L_{\text{att}}=-f_d\Delta x, 	\end{equation*}

dove \Delta x rappresenta lo spazio percorso dal corpo prima di arrestarsi (ossia la compressione della molla). Sostituendo nell’equazione (7) l’espressione di f_d appena ottenuta (eq.(6)), si ha che il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico è pari a

(8)   \begin{equation*} 		L_{\text{att}}=-\mu_dmg\Delta x. 	\end{equation*}

Il lavoro compiuto dalla molla quando essa è compressa di \Delta x dal corpo m è dato da

(9)   \begin{equation*} 		L_{\text{molla}}=-\dfrac{1}{2}k\left(\Delta x\right)^2. 	\end{equation*}

Sostituendo le espressioni di L_{\text{att}} ed L_{\text{el}} ottenute nell’equazioni (8) e (9) rispettivamente, l’equazione (4) diventa

(10)   \begin{equation*} 		-\dfrac{1}{2}mv_0^2=-\mu_dmg\Delta x-\dfrac{1}{2}k\left(\Delta x\right)^2, 	\end{equation*}

ovvero

(11)   \begin{equation*} 		mv_0^2=2\mu_dmg\Delta x+k\left(\Delta x\right)^2K; 	\end{equation*}

da cui esplicitando rispetto all’incognita v_0, otteniamo che la velocità iniziale del corpo di massa m è

    \[\boxcolorato{fisica}{v_0=\sqrt{\dfrac{\Delta x(2\mu_dmg+k\Delta x)}{m}}.}\]

Osserviamo che il risultato appena ottenuto è fisicamente accettabile per qualunque valore numerico di \Delta x, \mu_d, m, g e k, essendo il radicando sempre positivo.

Svolgimento Punto 2.

Per calcolare il minimo valore F_{min} della forza \vec{F} tale per cui il corpo è messo in moto il corpo di massa m, definiamo un sistema di riferimento fisso Oxy con l’origine O in corrispondenza della posizione iniziale del corpo (ossia prima che questo toccasse la molla), come illustrato in figura 4. Sul corpo m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}, la forza di attrito statico \vec{f}_a e la forza \vec{F}, orientate come in figura 4.    

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    Per il secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x e y, supponendo che il corpo sia inizialmente in quiete

(12)   \begin{equation*} 		\begin{cases} 			x: F\cos\theta-f_a=0\\ 			y:N+F\sin\theta-mg=0 		\end{cases} 		\quad\Leftrightarrow\quad 		\begin{cases} 			x:f_a=F\cos\theta\\ 			y:N=mg-F\sin\theta. 		\end{cases} 	\end{equation*}

Per calcolare il minimo valore del modulo di F tale per cui il corpo m comincia a muoversi, osserviamo che

(13)   \begin{equation*} 		f_a\leq f_{a,\text{max}}=\mu_s N=\mu_s(mg-F\sin\theta), 	\end{equation*}

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la seconda equazione del sistema (12). Utilizzando la prima equazione del sistema (12), la condizione data dall’equazione (13) diventa

(14)   \begin{equation*} 		F\cos\theta\leq \mu_s(mg-F\sin\theta), 	\end{equation*}

ovvero

(15)   \begin{equation*} 		F(\cos\theta+\mu_s\sin\theta)\leq \mu_smg\quad\Leftrightarrow\quad F\leq \dfrac{\mu_s mg}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}. 	\end{equation*}

Dall’equazione (15) ricaviamo che il minimo valore F_{\min} del modulo della forza \vec{F} affinché il corpo m vinca la resistenza dell’attrito statico e si metta in moto è pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{F_{\min}=\dfrac{\mu_s mg}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}.}\]


Approfondimento.

Riportiamo in figura 5 il grafico di F_{\min} in funzione dell’angolo \theta\in[0,\pi/2] avendo arbitrariamente fissato m=1\,\text{kg} e \mu_s=\text{0,5}. Come si può osservare, in accordo con quanto ci si aspetta intuitivamente, complessivamente al crescere di \theta è necessaria una maggiore forza F_{\min} per mettere in moto il corpo.    

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    Tuttavia è interessante notare come l’angolo che minimizza lo “sforzo” per mettere in moto il corpo non sia \theta=0, ossia quando la forza \vec{F} è direttamente parallelamente al piano orizzontale. Infatti ponendo

(16)   \begin{equation*} 		\dfrac{d}{d\theta}(F_{\min}(\theta))=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{\mu_s mg}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}\right)=0, 	\end{equation*}

si ha che

(17)   \begin{equation*} 		\mu_smg\left(\dfrac{-(-\sin\theta+\mu_s\cos\theta)}{(\cos\theta+\mu_s\sin\theta)^2}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad -\mu_s mg\left(\dfrac{\mu_s\cos\theta-\sin\theta}{(\cos\theta+\mu_s\sin\theta)^2}\right)=0, 	\end{equation*}

da cui

(18)   \begin{equation*} 		\mu_s\cos\theta-\sin\theta=0\quad\Leftrightarrow\quad \mu_s-\tan\theta=0\quad\Leftrightarrow\quad \theta=\arctan(\mu_s). 	\end{equation*}

Quindi deduciamo che l’angolo \theta_{min} che minimizza la forza minima F_{\min} necessaria per mettere in moto il corpo m è pari a

(19)   \begin{equation*} 		\boxed{\theta_{\min}=\arctan(\mu_s).} 	\end{equation*}