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Lavoro ed energia: esercizio 70

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 70

Esercizio lavoro ed energia 70

L’esercizio 70 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 69 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 71. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 70

Esercizio 70 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un blocco di massa m si muove su un piano orizzontale scabro avente un coefficiente di attrito dinamico \mu_d. Inizialmente il blocco ha una velocità \vec{v}_0 diretta parallelamente al piano orizzontale (si veda la figura 1) e si trova ad una distanza d da una molla ideale di costante elastica k e massa trascurabile. Un’estremità della molla è fissata ad un piano verticale, mentre l’altra estremità è libera. Determinare quale condizione deve essere soddisfatta affinché il blocco urti contro la molla. In tale scenario si calcoli la massima compressione della molla. Si supponga che nell’urto tra massa m e molla non ci sia dissipazione di energia.

 

 

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Svolgimento.

Per risolvere la prima parte di questo problema ignoriamo temporaneamente il contributo elastico della molla perché vogliamo calcolare se l’attrito del piano orizzontale è tale da arrestare il corpo prima che esso entri in contatto con la molla. Dal teorema delle forze vive sappiamo che il lavoro totale L compiuto sul corpo di massa m in un intervallo di tempo [t_i,t_f] è pari alla variazione di energia cinetica \Delta K, ossia

(1)   \begin{equation*} L=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2, \end{equation*}

dove v_i e v_f rappresentano rispettivamente la velocità iniziale e finale del corpo (cioè v_i\equiv v(t=t_i)) e v_f\equiv v(t=t_f)). Sul corpo di massa m agiscono la forza peso, la reazione vincolare (entrambe non compiono lavoro perché istante per istante ortogonali alla direzione del moto) e la forza di attrito dinamico[1] In virtù di ciò l’unico contributo al lavoro totale L fatto sul di esso è dato dall’attrito, ossia

(2)   \begin{equation*} L=L_{\text{att}}. \end{equation*}

Dalle equazioni (1) e (2) otteniamo che nel generico intervallo di tempo [t_i,t_f] vale la seguente relazione

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2=L_{\text{att}}. \end{equation*}

Consideriamo come tempo iniziale t_i, l’istante in cui il corpo è posto ad una distanza d dall’estremità libera della molla e si muove con una velocità v_i=v_0 (come illustrato in figura 2). Consideriamo come tempo finale t_f, l’istante in cui il corpo si arresta (v_f=0) a causa della forza di attrito dinamico, dopo aver percorso un tratto orizzontale \Delta x<d.

 

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Diagramma che mostra la configurazione iniziale e finale di un blocco di massa m che si muove verso una molla. Il blocco si ferma dopo aver compresso la molla e percorso una distanza Δx. Utilizzato per analizzare il lavoro della forza di attrito.

 

Sfruttando quanto detto l’equazione (3) diventa

(4)   \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mv_0^2=L_{\text{att}}. \end{equation*}

Per calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico è opportuno costruire il diagramma di corpo libero di m rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, come illustrato in figura 3. Sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} e la forza di attrito dinamico \vec{f}_d, orientate come in figura 3.

 

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Diagramma di corpo libero che mostra le forze agenti su un blocco di massa m in movimento su un piano orizzontale: la forza peso m·g, la reazione vincolare N, e la forza di attrito dinamico fd. Utilizzato per calcolare il lavoro fatto dall'attrito.

 

Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x e y, abbiamo che

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_d=ma\\ y:N-mg=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:-f_d=ma\\ y:N=mg, \end{cases} \end{equation*}

dove a è la componente dell’accelerazione di m lungo l’asse delle x. Si ricordi che per definizione il modulo della forza di attrito dinamico f_d è dato da

(6)   \begin{equation*} f_d=\mu_d N=\mu_d mg, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato l’espressione di N ottenuta nella seconda equazione del sistema (5). Dunque, il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico è dato da

(7)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-f_d\Delta x, \end{equation*}

dove \Delta x rappresenta lo spazio percorso dal corpo prima di arrestarsi a causa della forza di attrito dinamico. Sostituendo nell’equazione (7) l’espressione di f_d appena ottenuta (eq.(6)), si ha

(8)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-\mu_dmg\Delta x. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di L_\text{att} ottenuta nell’equazione (8) nell’equazione (4), si ottiene

(9)   \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mv_0^2=-\mu_dmg\Delta x\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}v_0^2=\mu_dg\Delta x, \end{equation*}

da cui esplicitando rispetto a \Delta x, si trova

(10)   \begin{equation*} \Delta x=\dfrac{v_0^2}{2\mu_d g}. \end{equation*}

Affinché il corpo di massa m urti la molla prima di arrestarsi per effetto dell’attrito è necessario che la distanza \Delta x sia maggiore della distanza iniziale d tra il corpo e l’estremità libera della molla (si veda figura 2, dove per semplicità abbiamo illustrato il caso in cui \Delta x<d), ossia

(11)   \begin{equation*} \Delta x>d, \end{equation*}

conseguentemente utilizzando l’equazione (10) la precedente disequazione diventa

(12)   \begin{equation*} \dfrac{v_0^2}{2\mu_d g}>d, \end{equation*}

oppure

    \[\boxcolorato{fisica}{ \dfrac{v_0^2}{2\mu_d gd}>1.}\]

Per calcolare la massima compressione della molla, ripetiamo lo stesso procedimento di prima con l’unica differenza che adesso sul corpo di massa m agisce anche la forza elastica. Ci avvaliamo nuovamente dell’equazione (1). In questo caso il lavoro totale L compiuto sul corpo di massa m è dato da

(13)   \begin{equation*} L=L_{\text{att}}+L_{\text{molla}}, \end{equation*}

dove L_{\text{molla}} è il lavoro compiuto dalla molla tra l’istante in cui il corpo di massa m impatta sulla molla a riposo e l’istante di tempo in cui si arresta istantaneamente. In virtù dell’equazione (13) l’equazione (1) diventa

(14)   \begin{equation*} L_{\text{att}}+L_{\text{molla}}=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2. \end{equation*}

Sia \tilde{x}>0 lo spazio percorso dalla massa m una volta urtata la molla prima di arrestarsi. Consideriamo come istante finale t_f l’istante in cui il corpo, dopo aver urtato la molla, si arresta. In virtù di ciò rispetto alla posizione di partenza il corpo di massa m avrà percorso un tratto d+\tilde{x} lungo il piano orizzontale, mentre la molla risulterà compressa di \tilde{x} rispetto alla sua configurazione di equilibrio.

 

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Diagramma che mostra la configurazione iniziale e finale di un blocco di massa m che, dopo aver compresso una molla, si arresta. La molla è compressa di una distanza x-tilde rispetto alla sua lunghezza naturale. Utilizzato per analizzare il lavoro e l'energia.

 

Sfruttando quanto detto l’equazione (14) diventa

(15)   \begin{equation*} L_{\text{att}}+L_{\text{molla}}=-\dfrac{1}{2}mv_0^2. \end{equation*}

Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è dato dall’equazione (8) dove \Delta x=d+\tilde{x}, ossia

(16)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-\mu_dmg(d+\tilde{x}). \end{equation*}

Il lavoro compiuto dalla molla quando essa è compressa di \tilde{x} dal corpo m è dato da

(17)   \begin{equation*} L_{\text{molla}}=-\dfrac{1}{2}k\tilde{x}^2. \end{equation*}

Utilizzando le equazioni (16) e (17) nell’equazione (13), si ha

(18)   \begin{equation*} L=-\mu_dmg(d+\tilde{x})-\dfrac{1}{2}k\tilde{x}^2. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di L data dall’equazione (18) nell’equazione (15), si giunge ad

(19)   \begin{equation*} -\mu_dmg(d+\tilde{x})-\dfrac{1}{2}k\tilde{x}^2=-\dfrac{1}{2}mv_0^2\quad\Leftrightarrow\quad k\tilde{x}^2+2\mu_dmg\tilde{x}+2\mu_dmgd-mv_0^2=0, \end{equation*}

ossia

(20)   \begin{equation*} \tilde{x}^2+\dfrac{\mu_dmg}{k}\tilde{x}+\dfrac{2}{k}\left(\mu_dmgd-\dfrac{1}{2}mv_0^2\right)=0. \end{equation*}

L’equazione (20) è un’equazione di secondo grado nell’incognita \tilde{x} le cui soluzioni sono

(21)   \begin{equation*} \tilde{x}_{1,2}=-\dfrac{\mu_dmg}{2k}\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{\mu_dmg}{k}\right)^2-\dfrac{8}{k}\left(\mu_dmgd-\dfrac{1}{2}mv_0^2\right)}. \end{equation*}

Osserviamo che

(22)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_0^2-\mu_dmgd> 0 \end{equation*}

dato che vale la condizione

(23)   \begin{equation*} \dfrac{v_0^2}{2\mu_d gd}>1. \end{equation*}

La soluzione fisicamente accettabile è quella con il segno positivo dato che \tilde{x} rappresenta una distanza e deve essere positiva, per cui la massima compressione della molla risulta essere

    \[\boxcolorato{fisica}{ \tilde{x}=-\dfrac{\mu_dmg}{2k}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{\mu_dmg}{k}\right)^2-\dfrac{8}{k}\left(\mu_dmgd-\dfrac{1}{2}mv_0^2\right)}.}\]

 

  1. Si ricordi che in questa fase del moto di m non stiamo considerando il contributo elastico della molla, perché ci interessa capire se l’attrito sia in grado di arrestare il corpo prima che questo entri in contatto con la molla.  ↩

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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