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Esercizio 70  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un blocco di massa m si muove su un piano orizzontale scabro avente un coefficiente di attrito dinamico \mu_d. Inizialmente il blocco ha una velocità \vec{v}_0 diretta parallelamente al piano orizzontale (si veda la figura 1) e si trova ad una distanza d da una molla ideale di costante elastica k e massa trascurabile. Un’estremità della molla è fissata ad un piano verticale, mentre l’altra estremità è libera. Determinare quale condizione deve essere soddisfatta affinché il blocco urti contro la molla. In tale scenario si calcoli la massima compressione della molla. Si supponga che nell’urto tra massa m e molla non ci sia dissipazione di energia.

 

 

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Svolgimento.

Per risolvere la prima parte di questo problema ignoriamo temporaneamente il contributo elastico della molla perché vogliamo calcolare se l’attrito del piano orizzontale è tale da arrestare il corpo prima che esso entri in contatto con la molla. Dal teorema delle forze vive sappiamo che il lavoro totale L compiuto sul corpo di massa m in un intervallo di tempo [t_i,t_f] è pari alla variazione di energia cinetica \Delta K, ossia

(1)   \begin{equation*} L=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2, \end{equation*}

dove v_i e v_f rappresentano rispettivamente la velocità iniziale e finale del corpo (cioè v_i\equiv v(t=t_i)) e v_f\equiv v(t=t_f)). Sul corpo di massa m agiscono la forza peso, la reazione vincolare (entrambe non compiono lavoro perché istante per istante ortogonali alla direzione del moto) e la forza di attrito dinamico[1] In virtù di ciò l’unico contributo al lavoro totale L fatto sul di esso è dato dall’attrito, ossia

(2)   \begin{equation*} L=L_{\text{att}}. \end{equation*}

Dalle equazioni (1) e (2) otteniamo che nel generico intervallo di tempo [t_i,t_f] vale la seguente relazione

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2=L_{\text{att}}. \end{equation*}

Consideriamo come tempo iniziale t_i, l’istante in cui il corpo è posto ad una distanza d dall’estremità libera della molla e si muove con una velocità v_i=v_0 (come illustrato in figura 2). Consideriamo come tempo finale t_f, l’istante in cui il corpo si arresta (v_f=0) a causa della forza di attrito dinamico, dopo aver percorso un tratto orizzontale \Delta x<d.

 

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Sfruttando quanto detto l’equazione (3) diventa

(4)   \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mv_0^2=L_{\text{att}}. \end{equation*}

Per calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico è opportuno costruire il diagramma di corpo libero di m rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, come illustrato in figura 3. Sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} e la forza di attrito dinamico \vec{f}_d, orientate come in figura 3.

 

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Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x e y, abbiamo che

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_d=ma\\ y:N-mg=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:-f_d=ma\\ y:N=mg, \end{cases} \end{equation*}

dove a è la componente dell’accelerazione di m lungo l’asse delle x. Si ricordi che per definizione il modulo della forza di attrito dinamico f_d è dato da

(6)   \begin{equation*} f_d=\mu_d N=\mu_d mg, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato l’espressione di N ottenuta nella seconda equazione del sistema (5). Dunque, il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico è dato da

(7)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-f_d\Delta x, \end{equation*}

dove \Delta x rappresenta lo spazio percorso dal corpo prima di arrestarsi a causa della forza di attrito dinamico. Sostituendo nell’equazione (7) l’espressione di f_d appena ottenuta (eq.(6)), si ha

(8)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-\mu_dmg\Delta x. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di L_\text{att} ottenuta nell’equazione (8) nell’equazione (4), si ottiene

(9)   \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mv_0^2=-\mu_dmg\Delta x\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}v_0^2=\mu_dg\Delta x, \end{equation*}

da cui esplicitando rispetto a \Delta x, si trova

(10)   \begin{equation*} \Delta x=\dfrac{v_0^2}{2\mu_d g}. \end{equation*}

Affinché il corpo di massa m urti la molla prima di arrestarsi per effetto dell’attrito è necessario che la distanza \Delta x sia maggiore della distanza iniziale d tra il corpo e l’estremità libera della molla (si veda figura 2, dove per semplicità abbiamo illustrato il caso in cui \Delta x<d), ossia

(11)   \begin{equation*} \Delta x>d, \end{equation*}

conseguentemente utilizzando l’equazione (10) la precedente disequazione diventa

(12)   \begin{equation*} \dfrac{v_0^2}{2\mu_d g}>d, \end{equation*}

oppure

    \[\boxcolorato{fisica}{ \dfrac{v_0^2}{2\mu_d gd}>1.}\]

Per calcolare la massima compressione della molla, ripetiamo lo stesso procedimento di prima con l’unica differenza che adesso sul corpo di massa m agisce anche la forza elastica. Ci avvaliamo nuovamente dell’equazione (1). In questo caso il lavoro totale L compiuto sul corpo di massa m è dato da

(13)   \begin{equation*} L=L_{\text{att}}+L_{\text{molla}}, \end{equation*}

dove L_{\text{molla}} è il lavoro compiuto dalla molla tra l’istante in cui il corpo di massa m impatta sulla molla a riposo e l’istante di tempo in cui si arresta istantaneamente. In virtù dell’equazione (13) l’equazione (1) diventa

(14)   \begin{equation*} L_{\text{att}}+L_{\text{molla}}=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2. \end{equation*}

Sia \tilde{x}>0 lo spazio percorso dalla massa m una volta urtata la molla prima di arrestarsi. Consideriamo come istante finale t_f l’istante in cui il corpo, dopo aver urtato la molla, si arresta. In virtù di ciò rispetto alla posizione di partenza il corpo di massa m avrà percorso un tratto d+\tilde{x} lungo il piano orizzontale, mentre la molla risulterà compressa di \tilde{x} rispetto alla sua configurazione di equilibrio.

 

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Sfruttando quanto detto l’equazione (14) diventa

(15)   \begin{equation*} L_{\text{att}}+L_{\text{molla}}=-\dfrac{1}{2}mv_0^2. \end{equation*}

Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è dato dall’equazione (8) dove \Delta x=d+\tilde{x}, ossia

(16)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-\mu_dmg(d+\tilde{x}). \end{equation*}

Il lavoro compiuto dalla molla quando essa è compressa di \tilde{x} dal corpo m è dato da

(17)   \begin{equation*} L_{\text{molla}}=-\dfrac{1}{2}k\tilde{x}^2. \end{equation*}

Utilizzando le equazioni (16) e (17) nell’equazione (13), si ha

(18)   \begin{equation*} L=-\mu_dmg(d+\tilde{x})-\dfrac{1}{2}k\tilde{x}^2. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di L data dall’equazione (18) nell’equazione (15), si giunge ad

(19)   \begin{equation*} -\mu_dmg(d+\tilde{x})-\dfrac{1}{2}k\tilde{x}^2=-\dfrac{1}{2}mv_0^2\quad\Leftrightarrow\quad k\tilde{x}^2+2\mu_dmg\tilde{x}+2\mu_dmgd-mv_0^2=0, \end{equation*}

ossia

(20)   \begin{equation*} \tilde{x}^2+\dfrac{\mu_dmg}{k}\tilde{x}+\dfrac{2}{k}\left(\mu_dmgd-\dfrac{1}{2}mv_0^2\right)=0. \end{equation*}

L’equazione (20) è un’equazione di secondo grado nell’incognita \tilde{x} le cui soluzioni sono

(21)   \begin{equation*} 	\tilde{x}_{1,2}=-\dfrac{\mu_dmg}{2k}\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{\mu_dmg}{k}\right)^2-\dfrac{8}{k}\left(\mu_dmgd-\dfrac{1}{2}mv_0^2\right)}. \end{equation*}

Osserviamo che

(22)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_0^2-\mu_dmgd> 0 \end{equation*}

dato che vale la condizione

(23)   \begin{equation*} 	\dfrac{v_0^2}{2\mu_d gd}>1. \end{equation*}

La soluzione fisicamente accettabile è quella con il segno positivo dato che \tilde{x} rappresenta una distanza e deve essere positiva, per cui la massima compressione della molla risulta essere

    \[\boxcolorato{fisica}{	\tilde{x}=-\dfrac{\mu_dmg}{2k}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{\mu_dmg}{k}\right)^2-\dfrac{8}{k}\left(\mu_dmgd-\dfrac{1}{2}mv_0^2\right)}.}\]

 

  1. Si ricordi che in questa fase del moto di m non stiamo considerando il contributo elastico della molla, perché ci interessa capire se l’attrito sia in grado di arrestare il corpo prima che questo entri in contatto con la molla.