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Esercizio 69  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m viene lanciato con velocità iniziale di modulo v_0>0 lungo un piano inclinato scabro, con coefficiente di attrito dinamico \mu_d, partendo dal bordo inferiore del piano, come rappresentato in figura 1. Sapendo che l’angolo di inclinazione del piano è \alpha, si calcoli la massima altezza raggiunta dal corpo ed il corrispondente lavoro della forza d’attrito. Le risposte vanno fornite in funzione dei parametri \alpha, v_0, m e \mu_d. Inoltre, la velocità v_0 è stata misurata da un sistema di riferimento fisso solidale con il suolo.

 

 

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Svolgimento.

Per la risoluzione di questo problema possiamo utilizzare il teorema delle forze vive. In particolare dato un intervallo di tempo [t_i,t_f] il lavoro totale L compiuto sul corpo di massa m in questo intervallo è pari alla variazione di energia cinetica \Delta K, ossia

(1)   \begin{equation*} L=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2, \end{equation*}

dove v_i e v_f rappresentano rispettivamente la velocità iniziale e finale del corpo (cioè v_i\equiv v(t=t_i)) e v_f\equiv v(t=t_f)). Sul corpo di massa m agiscono la forza peso, la reazione vincolare (che non compie lavoro perché istante per istante è ortogonale alla direzione del moto di m) e la forza di attrito dinamico (la forza di attrito è tangente alla traiettoria di m istante per istante) per cui il lavoro totale L fatto sul di esso sarà dato da

(2)   \begin{equation*} L=L_{\text{peso}}+L_{\text{att}}, \end{equation*}

dove L_{\text{peso}} è il lavoro della forza peso nell’intervallo [t_i,t_f] e L_{\text{att}} è il lavoro della forza peso nell’intervallo [t_i,t_f]. In generale, dalle equazioni (1) e (2) otteniamo che in un generico intervallo di tempo [t_i,t_f] per il corpo di massa m vale la seguente relazione

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2=L_{\text{peso}}+L_{\text{att}}. \end{equation*}

Consideriamo come tempo iniziale t_i, l’istante in cui il corpo, partendo dalla base del piano inclinato, viene lanciato lungo il piano stesso con una velocità iniziale v_i=v_0 (come illustrato in figura 2). Consideriamo come tempo finale t_f, l’istante in cui il corpo raggiunge la massima altezza h_{\text{max}} rispetto al piano orizzontale, con una velocità nulla (ossia v_f=0).

 

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In virtù di ciò l’equazione (2) diventa

(4)   \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mv_0^2=L_{\text{peso}}+L_{\text{att}}. \end{equation*}

Definiamo un sistema di riferimento fisso Oy dove l’origine O, posta alla stessa quota del bordo inferiore del piano inclinato, definisce arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale, come rappresentato in figura 2. In virtù di come abbiamo costruito il riferimento Oy osserviamo che il corpo partendo da un’altezza iniziale h_i=0 arriva all’altezza finale h_f=h_{\text{max}}, per cui il lavoro svolto dalla forza peso è pari a

(5)   \begin{equation*} L_{\text{peso}}=mgh_i-mgh_f=-mgh_{\text{max}}. \end{equation*}

Per calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico è opportuno costruire il diagramma di corpo libero di m rispetto al sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy come illustrato in figura 3. Sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} e la forza di attrito dinamico \vec{f}_d, orientate come in figura 3.

 

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Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x e y, abbiamo che

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -mg\sin\alpha-f_d=ma\\ y:N-mg\cos\alpha=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:- mg\sin\alpha-f_d=ma\\ y:N=mg\cos\alpha, \end{cases} \end{equation*}

dove a è l’accelerazione del corpo di massa m lungo l’asse delle x. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico è dato da

(7)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-f_d\Delta x=-f_d\dfrac{h_{\text{max}}}{\sin\alpha}, \end{equation*}

dove \Delta x=h_{\text{max}}/\sin\alpha rappresenta lo spostamento del corpo lungo il piano inclinato nell’intervallo [t_i,t_f], come illustrato in figura 2. Si ricordi che per definizione il modulo della forza di attrito dinamico f_d è dato da

(8)   \begin{equation*} f_d=\mu_d N=\mu_d mg\cos\alpha, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato l’espressione di N ottenuta nella seconda equazione del sistema (6). Sostituendo nell’equazione (7), l’espressione di f_d appena ottenuta (eq.(8)), si ha

(9)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-\mu_d\dfrac{h_{\text{max}}}{\sin\alpha}mg\cos\alpha=-mg\mu_d h_{\text{max}}\cot\alpha. \end{equation*}

Sostituendo le espressioni di L_{\text{peso}} ed L_\text{att} ottenute nell’equazioni (5) e (9) rispettivamente, nell’equazione (4) otteniamo che

(10)   \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mv_0^2=-mgh_{\text{max}}-mg\mu_d h_{\text{max}}\cot\alpha\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}mv_0^2=mgh_{\text{max}}(1+\mu_d\cot\alpha), \end{equation*}

da cui dividendo ambo i membri per la massa m ed esplicitando rispetto a h_{\text{max}}, si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{ h_{\text{max}}=\dfrac{v_0^2}{2g(1+\mu_d\cot\alpha)}.}\]

Sostituendo l’espressione di h_{\text{max}} appena ottenuta, nell’equazione (9) ricaviamo che il lavoro svolto dalla forza di attrito è pari a

(11)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=-f_d\dfrac{h_{\text{max}}}{\sin\alpha}=-mg\mu_d\cos\alpha\left(\dfrac{v_0^2}{2g(1+\mu_d\cot\alpha)}\right)\dfrac{1}{\sin \alpha}, \end{equation*}

ossia

(12)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=\dfrac{m\mu_d v_0^2\cot\alpha}{2(1+\mu_d\cot\alpha)}, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ L_{\text{att}}=\dfrac{m\mu_d v_0^2}{2(\tan\alpha+\mu_d)}.}\]