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Esercizio 65  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Da un sistema di riferimento inerziale si osserva un’automobile di massa m percorrere ad una velocità \vec{v} con moto rettilineo uniforme una strada in salita, inclinata di un angolo \theta rispetto all’orizzontale. Il modulo della forza di attrito \vec{f}_A dipende dal modulo della velocità \vec{v} dell’automobile secondo la relazione f_A=(a+bv), con a e b costanti, e v il modulo della velocità. Si calcoli la potenza erogata dal motore in funzione di v, \theta, a , b, m e g.

 

 

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Svolgimento.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano inerziale Oxy, con l’asse delle x tangente alla strada e l’asse delle y ad essa ortogonale, orientati come in figura 2. Costruiamo il diagramma di corpo libero come illustrato in figura 2. Sulla automobile di massa m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} in seguito al contatto col piano inclinato, la forza di attrito \vec{f}_A e la forza motrice \vec{T} sviluppata dal motore. Le forze sono orientate come in figura 2.

 

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Per ipotesi l’automobile procede di moto uniforme lungo la strada in salita, ossia con accelerazione nulla. Quindi, dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x ed y otteniamo che

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_A-mg\sin\theta+T=0\\ y: N-mg\cos\theta=0, \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (1) otteniamo che il modulo della forza motrice erogata dal motore è pari a

(2)   \begin{equation*} T=mg\sin\theta+f_A. \end{equation*}

Per ipotesi il modulo della forza di attrito è dato da

(3)   \begin{equation*} f_A=(a+bv). \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di f_A ottenuta nell’equazione (3), nell’equazione (2), otteniamo che

(4)   \begin{equation*} T=mg\sin\theta+a+bv. \end{equation*}

La potenza P erogata dal motore tale da consentire all’automobile di percorrere la strada in salita di moto uniforme con velocità \vec{v} è data da

(5)   \begin{equation*} P=\vec{T}\cdot\vec{v}=T\,\hat{x}\cdot v\,\hat{x}=Tv(\,\hat{x}\cdot\,\hat{x})=Tv, \end{equation*}

dove \hat{x} rappresenta il versore dell’asse delle x. Sostituendo l’espressione di T ottenuta nell’equazione (4) nella precedente equazione, si trova

(6)   \begin{equation*} P=\left(mg\sin\theta+a+bv\right)v, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ P=av+bv^2+mgv\sin\theta.}\]